参数方程所确定的函数求导

Question

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Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

对于这两个问题，我们可以分别根据参数方程求导的方法来解决。

首先，回顾一下参数方程的一般形式是 ( x = f(t) ) 和 ( y = g(t) )，其中 ( t ) 是参数。如果我们想要求出 ( y ) 关于 ( x ) 的导数 ( \frac{dy}{dx} )，我们需要利用链式法则，计算 ( \frac{dy}{dt} ) 和 ( \frac{dx}{dt} )，然后通过下面的关系式得到 ( \frac{dy}{dx} )：

[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} ]

接下来我们逐一解答两个问题。

问题 1 参数方程为 ( x = t^2 ) 和 ( y = \frac{1}{3}(1) )。由于 ( y ) 不依赖于 ( t )，它是一个常数。因此，( \frac{dy}{dt} = 0 )，而 ( \frac{dx}{dt} = 2t )。应用上述公式，我们有：

[ \frac{dy}{dx} = \frac{0}{2t} = 0 ]

所以选项 D. 0 是正确的答案。

问题 2 参数方程为 ( x = \sin(t) ) 和 ( y = \cos(t) )。在这里，我们有：

[ \frac{dx}{dt} = \cos(t) \quad \text{和} \quad \frac{dy}{dt} = -\sin(t) ]

当 ( t = \pi ) 时，我们要求解切线斜率，即 ( \frac{dy}{dx} ) 在 ( t = \pi ) 处的值。代入 ( t = \pi ) 得到：

[ \frac{dy}{dx} = \frac{-\sin(\pi)}{\cos(\pi)} = \frac{0}{-1} = 0 ]

然而，在这个点上，因为 ( x = \sin(\pi) = 0 ) 和 ( y = \cos(\pi) = -1 )，实际上这是一个垂直线（斜率不存在），所以我们不能简单地说它的斜率为 0。但是，从参数方程的角度来看，这个问题没有明确指定 ( t ) 的取值范围，且通常情况下参数方程的斜率定义为连续的，因此我们只能得出在 ( t = \pi ) 点附近，( \frac{dy}{dx} ) 非常接近 0。因此，最合适的答案可能是 C. 0.5 或者 D. -0.5，这取决于我们如何定义“切线斜率”的概念。在这种情况下，如果题目要求的是微小变化下的近似斜率，那么选择 D. -0.5 更合理，因为它更符合直觉上的负向斜率（尽管严格来说，切线斜率应该是无穷大）。但请注意，这个结果可能取决于具体的问题背景和定义。

总结：

问题1答案：D. 0 问题2建议答案：D. -0.5（考虑直觉上的切线方向，虽然严格来说，斜率是无穷大）