为什么b=2w，奈奎斯特极限定理是什么含义

Question

码元我理解应该是由最低通过频率和最高通过频率之间的一些频率的波叠加起来的一个复合波形。这个波形由一个基波和很多个辅波叠加而成。码元的速率是一秒钟传送码元的个数，这和码元基波的频率有关，频率越大传输的码元速率越高，而基波频率越小则传输的码元速率越小。但为什么奈奎斯特极限定理说码元的最大速率等于频率点数的2倍呢?

0赫兹3100赫兹和300赫兹3400赫兹，他两都包含3100个频率点，基于w=f2-f1，他两的带宽应该是一样的呐。为什么说300赫兹到3400赫兹的信道频率更广。我理解带宽应该是频率只差，如果带宽叫频率之差，它的单位是赫兹应该没问题。相同频率差的信道，依据b=2w，他们的码元率又是相同的了，如果一个码元只表示一位，那数据传输速率又一样了。所以还是不明白呢

Answer 1

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奈奎斯特极限定理是由德国物理学家卡尔·弗里德里希·亨利希·奈奎斯特在1928年提出的，它阐述了一个关键的信号传输理论：在一个无噪声的理想信道中，最大无失真传输数据的速率（即码元速率）是信道带宽的两倍。公式为 b = 2W，其中 b 是码元速率（bits per second, bps），W 是信道的带宽（Hz）。这个定理适用于任何模拟信号的数字化传输。

要理解这个原理，我们首先需要澄清几个概念：

1. 码元（Symbol）：在数字通信中，码元是一个离散的信号单元，它可以代表一位、两位甚至多位的信息。例如，在二进制系统中，一个码元可以代表0或1。

2. 带宽（Bandwidth）：是指信号所占据的频率范围，通常指信号中的最高频率减去最低频率。在理想情况下，信道的带宽决定了其能传输多少不同的频率成分。

3. 奈奎斯特间隔（Nyquist Interval）：这是在无噪声信道中，为了保证两个不同码元在接收端能够被正确区分，它们之间的最小时间间隔。根据奈奎斯特定理，每个码元携带的信息量是与其占用的时间成正比的。

现在，让我们用具体例子解释一下为什么300赫兹到3400赫兹的信道被认为是频率更广的，尽管两者都包含了3100个频率点：

• 频率范围1: 从0赫兹到3100赫兹
• 频率范围2: 从300赫兹到3400赫兹

虽然这两个频段都包含3100个频率点，但是第二个频段的实际频率跨度更大。第一个频段的带宽是从0开始的，这意味着它覆盖了负频率部分（在实数域中，正负频率是对称的），而第二个频段从300赫兹开始，没有覆盖负频率，实际的可用带宽是3100赫兹。因此，尽管它们看起来包含的频率点数相同，但实际上第二个频段的带宽更大。

至于为什么码元速率是带宽的两倍，我们可以这样理解：为了确保在接收端能准确解码，信号必须有足够的空间（时间或频率）进行区分。当信号的频率变化时，只要变化的幅度小于奈奎斯特间隔，接收端就能分辨出这些变化。因此，为了达到最大的数据传输速率，我们需要让信号尽可能快地改变，但同时保持这种改变仍然可被识别。这就意味着，如果我们有一个宽度为 W 的信道，我们可以每半个周期发送一个码元，因为每个码元需要至少半个周期的时间来完成变化，从而达到最高速率。所以码元速率 b = 1/T = 2/W，这里的 T 是半个周期，因此 b = 2W。

总结来说，奈奎斯特极限定理告诉我们，一个信道的最大数据传输速率是信道带宽的两倍。带宽不仅仅取决于频率点的数量，还取决于实际的频率范围。在实际应用中，考虑到噪声和其他干扰因素，实际的数据传输速率会低于这个理论值。