RSA大整数部分密钥泄露

Question

有木有人知道RSA部分密码破解怎么做？
(1)RSA密码的公开密钥为,用户秘密保管的私钥为,其中是两个512比特素数的乘积,私钥满足;
(2)密文数据, 这里是明文消息字符串经编码后的整数值并且满足;，即的取值范围为[1,];
(3)为降低赛题求解难度,用户的私钥特定比特位置的密钥信息发生泄漏，即本赛题每组数据均额外已知部分密钥信息;
(4)记MSBs 为最高数位比特 (Most Significant Bits), LSBs 为最低数位比特 (Least Significant Bits). 以整数=0b10000000000000001为例,其比特长度为17, 其中最高10位比特MSBs的二进制形式为0b1000000000=512，最低7位比特LSBs为"0000001",其二进制形式为0b1=1,满足关系: .

题目1：25分
N1=0xa4d80845630d3b332f74f667ec8a0e49aba15b6f0c4f4006161d62c91b78cf6811421cc76609d2d9dba2c43be9d8ecdc6a0dff64a8041dcde52c7f92820b0a38fc91419e8ec9a5c69d47edc6e347934b4d87f97c5759886dac6c1143ff55b8eb11acfaa6cc70956a8ec7796e1a063b123bc2e467e30937c5a69c7ab5f8ed17e1;
e1=0x3458c2e97adef45f741c7db11ece6c0814aa5b6fad9144242cdaa16a6b4f3622477935f98a41765b92892b4de22a391cf08767447df113f5151c86edd109b97f9b045fd8ad5d7a51084684d4e2353db6c0e474d5d79f399a2bf4fd867ec85b7960845ab5497f705914912f797804c06dcff57139e040596d22b141e54835e0d3;
c1=0x91b097a5b1f6b12accdbda15cd2247384e1b3ed8311085a0f3e0dbb5fffce650a355600a02674189d1b7f4075df079c70354a08646e85ecf31dd150220cd1d4ce22d55a946500f4bd8def74fb0acea3e8d2e7bb1d27ebf2ca2e80fc28c3f0d88a041d4a556a18147f66b88c65f19c99b4b94c3f78d468b8accb4da7e7ce31b29;
已知信息: 私钥d1的取值范围为[2的249次方,2的250次方]

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

要解决这个问题，我们需要利用给定的信息来尝试恢复私钥d1。由于我们知道了公钥N1、e1和密文c1，以及私钥d1的大致范围[2^249, 2^250]，我们可以尝试以下步骤来找到可能的私钥值。

首先，根据RSA算法，存在以下等式： c1 ≡ m^e1 mod N1 m ≡ c1^d1 mod N1

由于我们已经知道c1和e1，可以通过计算(c1^e1) % N1得到一个可能的明文m。然后，我们需要在给定的范围内寻找一个d1，使得(m^(d1*e1)) % N1 = c1。这个过程可以使用蛮力搜索或者一些优化方法，例如扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm）来找到模逆元。

这里我们将使用Python编写一个脚本来进行计算。我们将采用暴力搜索的方法，遍历私钥d1的可能范围，并检查每个d1是否满足条件。注意，这种方法对于较大的密钥可能会非常耗时。

import math

# 给定的参数
N1 = int('a4d80845630d3b332f74f667ec8a0e49aba15b6f0c4f4006161d62c91b78cf6811421cc76609d2d9dba2c43be9d8ecdc6a0dff64a8041dcde52c7f92820b0a38fc91419e8ec9a5c69d47edc6e347934b4d87f97c5759886dac6c1143ff55b8eb11acfaa6cc70956a8ec7796e1a063b123bc2e467e30937c5a69c7ab5f8ed17e1', 16)
e1 = int('3458c2e97adef45f741c7db11ece6c0814aa5b6fad9144242cdaa16a6b4f3622477935f98a41765b92892b4de22a391cf08767447df113f5151c86edd109b97f9b045fd8ad5d7a51084684d4e2353db6c0e474d5d79f399a2bf4fd867ec85b7960845ab5497f705914912f797804c06dcff57139e040596d22b141e54835e0d3', 16)
c1 = int('91b097a5b1f6b12accdbda15cd2247384e1b3ed8311085a0f3e0dbb5fffce650a355600a02674189d1b7f4075df079c70354a08646e85ecf31dd150220cd1d4ce22d55a946500f4bd8def74fb0acea3e8d2e7bb1d27ebf2ca2e80fc28c3f0d88a041d4a556a18147f66b88c65f19c99b4b94c3f78d468b8accb4da7e7ce31b29', 16)

# 私钥的范围
min_d = int(2**249)
max_d = int(2**250)

# 寻找可能的私钥值
for d in range(min_d, max_d + 1):
    # 计算明文m
    m = pow(c1, d, N1)
    
    # 检查d是否有效
    if pow(m, e1, N1) == c1:
        print(f"找到私钥d1: {d}")
        break

这段代码会尝试所有在给定范围内的d1值，直到找到一个符合条件的d1。然而，这可能需要很长时间，因为范围非常大。实际情况下，更高效的方法是使用扩展欧几里得算法找到模逆元，但这通常涉及到更复杂的数学操作和编程实现。

请注意，这是一个相当大的任务，可能需要大量的计算资源和时间。如果你只是想了解概念，那么这段代码足够了。如果在实际应用中遇到此类问题，建议使用专业的密码学库，它们通常包含了优化过的算法来处理这类问题。