高数傅氏余弦展开式 不理解答案

Question

是不是应该按照周期为l的公式写 那这样答案就是∑（1/n）×sin（nx/2）那为什么书上给的是这个答案啊

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

关于傅里叶级数展开，特别是对于特定函数的正弦或余弦展开，理解的关键在于把握函数的奇偶性以及相应的积分区间。给定的函数(f(x))定义在([0, 2\pi])上，要求的是其正弦展开式。

傅里叶级数的一般形式为： [f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]]

其中，对于周期为(2L)的函数，系数计算公式如下：

• (a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx)
• (a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos(\frac{n\pi x}{L}) dx)
• (b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin(\frac{n\pi x}{L}) dx)

但是，对于只包含正弦项或余弦项的半范围展开，我们需要调整这些公式。由于题目要求正弦展开，我们关注(b_n)的计算，且由于给定的函数(f(x))定义在([0, 2\pi])，我们将(L)设为(\pi)。

因此，(b_n)的计算变为： [b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin(\frac{n\pi x}{\pi}) dx] [b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx]

给定的函数是常数(2)，所以我们可以直接计算： [b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} 2 \sin(nx) dx] [b_n = \frac{4}{\pi} \left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}] [b_n = \frac{4}{\pi} \left(-\frac{\cos(n\pi)}{n} + \frac{1}{n}\right)]

注意到(\cos(n\pi))根据(n)的奇偶性会等于(\pm 1)。对于奇数(n)，(\cos(n\pi) = -1)；对于偶数(n)，(\cos(n\pi) = 1)。但因为我们的级数只包括正弦项，这意味着我们实际上是在寻找非零的(b_n)，这发生在(n)为奇数时。

因此，最终的正弦展开式可以表示为： [f(x) = \sum_{n \text{ odd}}^{\infty} b_n \sin(nx)] [f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{8}{\pi(2k+1)}\right) \sin((2k+1)x)]

这就是基于给定函数(f(x) = 2)在([0, 2\pi])区间上的傅里叶正弦展开式。这个结果与你提到的书中的答案可能看起来不同，主要是因为表达方式和变量的使用有所不同，但核心概念是一致的。如果书中的答案看起来不同，仔细检查其使用的变量和积分范围，通常可以找到一致之处。