请问各位，用降幂的方法怎么做这个

Question

之前做过类似的可是老是记不住怎么办有没有好方法记住这些公式（答案是用化成tan的方法难想到）

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

对于求解不定积分 (\int \frac{dx}{\sin^2{x} + 2\cos^2{x}}) 的问题，我们可以采用一种常见的转换技巧，即利用三角恒等式和换元法来简化积分表达式。下面是一个详细的步骤解析。

步骤一：利用三角恒等式

首先，注意到 (\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1) 这个基本的三角恒等式。因此，原积分可以写为： [ \int \frac{dx}{\sin^2{x} + 2(1 - \sin^2{x})} = \int \frac{dx}{1 + \sin^2{x}} ]

步骤二：使用三角函数的替代

接着，我们尝试将 (\sin^2{x}) 转换成一个更易处理的形式。这里，我们可以使用 (t = \tan{\frac{x}{2}}) 的替换，因为 (\sin{x} = \frac{2t}{1+t^2})，而 (dx = \frac{2dt}{1+t^2})。这样，(\sin^2{x}) 可以写为： [ \sin^2{x} = \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2 = \frac{4t^2}{(1+t^2)^2} ] 所以原积分变为： [ \int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{1 + \frac{4t^2}{(1+t^2)^2}} = \int \frac{2(1+t^2)dt}{(1+t^2)^2 + 4t^2} = \int \frac{2(1+t^2)dt}{1 + 6t^2 + t^4} ]

步骤三：进一步简化积分

观察到分母可以被看作是一个完全平方加上常数，即： [ 1 + 6t^2 + t^4 = (t^2 + 3)^2 - 8 ] 因此，原积分可以写为： [ \int \frac{2(1+t^2)dt}{(t^2 + 3)^2 - 8} ]

步骤四：完成积分

此时，积分已经变得相对简单。我们可以通过部分分式分解或使用适当的积分表来解决。具体来说，可以考虑分子中的 (1+t^2) 分别与分母的每一部分相乘，然后分别积分。但在这里，直接应用反三角函数的积分公式可能更为直接。

最终，通过上述步骤，原积分可转化为一系列更简单的积分，其中每个积分都可以通过标准积分表查得或直接计算得出。

总结

记住这类积分的关键在于熟悉并灵活运用三角恒等式、三角函数的替代以及积分表中的常见形式。多做练习可以帮助巩固记忆，并提高在考试或实际应用中快速识别和应用这些技巧的能力。