将一根长为 m 米的钢管截成长为 a 米和 b 米的两种规格的短料（a,b<m）。在这两种规格的短料至少各截一根的前提下，如何截才能剩余料最少。

Question

将一根长为 m 米的钢管截成长为 a 米和 b 米的两种规格的短料（a,b<m）。在这两种规格的短料至少各截一根的前提下，如何截才能剩余料最少。

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

为了解决这个问题，我们可以采用动态规划的方法来找到最小的剩余料长度。首先，定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示长度为 i 的钢管在满足条件的情况下，最少剩余的料长度。初始化 dp[0] = 0，因为长度为0的钢管剩余料为0，而其他所有 dp[i] 初始值设为 i，表示最坏情况下的剩余料长度（即不切割）。

接下来，我们遍历所有可能的钢管长度 i，对于每个 i，检查是否可以将其切割成长度为 a 和 b 的两段，并更新 dp[i] 的值。具体来说，如果 i >= a + b，则 dp[i] 可以通过 dp[i-a-b] 更新，因为从长度为 i 的钢管中切割出一段 a 和一段 b 后，剩余料长度为 i - a - b。但是，由于题目要求每种规格至少有一根，我们只需要检查 i >= a 或 i >= b 即可。

下面是具体的 C++ 实现代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

int minRemainder(int m, int a, int b) {
    std::vector<int> dp(m+1, m);
    dp[0] = 0;
    
    for (int i = a; i <= m; ++i) {
        if (i - a >= 0)
            dp[i] = std::min(dp[i], dp[i - a] + (i % a));
        if (i - b >= 0)
            dp[i] = std::min(dp[i], dp[i - b] + (i % b));
    }
    
    // 从m开始向前查找第一个满足条件的值
    for (int i = m; i >= 0; --i) {
        if (dp[i] <= a && dp[i] <= b)
            return dp[i];
    }
    
    return -1; // 如果没有找到合理的解，则返回-1
}

int main() {
    int m = 20;
    int a = 5;
    int b = 3;
    std::cout << "Minimum remainder: " << minRemainder(m, a, b) << std::endl;
    return 0;
}

注意，上述代码中的动态规划方法可能不会总是得到最优解，特别是在 a 和 b 的组合导致存在多个可能的解时。然而，在大多数情况下，它能提供一个接近最优的解。

在实际应用中，你可能需要根据具体的问题细节调整算法，例如考虑 a 和 b 是否互质，以及是否需要返回具体的切割方案等。但以上代码提供了一个基本的框架，可以用于解决这类问题。