为什么积分是零到π，不应该是二π吗？

Question

积分的范围那里没搞懂，如果是0到拍的话，不应该是因为对称，然后要✖️2吗？

Answer 1

上午好☀️☀️☀️️
本答案参考ChatGPT-3.5

问题的确有些不清晰，但我会尽力回答你的问题。

对于心形线：r=a(1+cosθ)，我们将它绕x轴旋转一周得到的旋转体的表面积，可以通过积分来求解。现在我们来解释积分的范围为什么是0到π，而不是0到2π。

1. 对称性：心形线具有关于y轴的对称性，也就是说，将θ从0到π的旋转体与将θ从π到2π的旋转体是关于y轴对称的。

2. 表面积的计算：我们首先计算一个旋转体的表面积S1，然后通过对称性可知，另一个旋转体的表面积S2也是S1。所以最终的表面积S = S1 + S2 = 2S1。

现在我们来解答你的问题：为什么积分的范围是0到π，而不是0到2π。

解答： 考虑到对称性和表面积的计算方法，我们选择积分的范围为0到π。在这个范围内，我们计算的是一个旋转体的表面积S1。最后，通过对称性可知，另一个旋转体的表面积S2也是S1。所以最终的表面积S = 2S1。

如果我们选择积分的范围为0到2π，我们将计算两个相同的旋转体的表面积S1和S2。在这种情况下，我们需要再将两者相加才能得到最终的表面积S。所以积分的范围为0到π是合理的。

最后，根据题目中给出的表面积公式和心形线方程，你可以继续计算旋转体的表面积。