希望能帮帮我这个大学生吧

Question

推到质量为m半径为R的均质圆盘，以圆心为轴的转动惯量，希望步骤详细一点

Answer 1

参考免费微信小程序：皆我百晓生 作答，经由专家-皆知整理回复，如问题解决，望采纳；如仍有疑问，请评论回复。

要计算一个质量为( m )、半径为( R )的均质圆盘绕其圆心轴的转动惯量，我们可以采用积分的方法。均质圆盘的密度是均匀的，因此，圆盘上任意小块的质量与该小块的体积成正比。

对于一个薄圆盘，我们可以将其视为由无数个同心的薄圆环组成。每个圆环的微小质量( dm )可以表示为： [ dm = \sigma dA ] 其中( \sigma )是面密度，( dA )是圆环的面积元素。由于圆盘是均质的，所以( \sigma = \frac{m}{\pi R^2} )。

考虑到转动惯量( I )的定义是： [ I = \int r^2 dm ] 其中( r )是从旋转轴到质量元素的距离。对于一个圆环，所有质量元素到中心轴的距离都是相同的，即该圆环的半径( r )。

对于一个半径为( r )、宽度为( dr )的薄圆环，其面积( dA )可以表示为圆环外圈和内圈的圆周长差乘以环的宽度，即： [ dA = 2\pi r dr ]

因此，该圆环的微小质量( dm )可以写为： [ dm = \sigma dA = \frac{m}{\pi R^2} \cdot 2\pi r dr = \frac{2m}{R^2}r dr ]

将( dm )代入转动惯量的积分公式中，我们得到： [ I = \int_0^R r^2 dm = \int_0^R r^2 \left( \frac{2m}{R^2}r dr \right) = \frac{2m}{R^2} \int_0^R r^3 dr ]

计算上述积分： [ I = \frac{2m}{R^2} \left[ \frac{1}{4}r^4 \right]_0^R = \frac{2m}{R^2} \cdot \frac{1}{4}R^4 = \frac{1}{2}mR^2 ]

因此，质量为( m )、半径为( R )的均质圆盘绕其圆心轴的转动惯量是( \frac{1}{2}mR^2 )。

这个结果符合刚体转动惯量的一般公式，也验证了我们的计算过程。