产生方波、三角波周期连续信号，利用MATLAB进行周期信号的分解与合成。 并观察吉布斯现象。

Question

任务6：傅里叶级数
产生方波、三角波周期连续信号，利用MATLAB进行周期信号的分解与合成。
并观察吉布斯现象。
求matlab代码和运行结果

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

为了解决你的问题，我们可以先从创建方波和三角波开始，然后利用傅里叶级数分解这些信号，并观察在合成过程中出现的吉布斯现象。以下是在MATLAB中实现这一过程的步骤和代码。

首先，我们需要定义信号的周期、频率、采样率等参数。然后，我们将使用MATLAB内置函数生成方波和三角波。接下来，通过傅里叶级数计算这些波形的频谱，最后重新合成信号，并观察吉布斯现象。

步骤 1: 定义信号参数

% 定义信号参数
T = 1; % 周期
f = 1/T; % 频率
fs = 1000; % 采样频率
t = 0:1/fs:T*10; % 时间向量，总时长为10个周期
N = length(t); % 信号长度

步骤 2: 生成方波和三角波

% 方波
square_wave = square(2*pi*f*t);
% 三角波
triangle_wave = sawtooth(2*pi*f*t, 0.5);

步骤 3: 傅里叶级数分解

为了简化，我们只考虑前几项的傅里叶级数（例如前100项），这足以观察到吉布斯现象。

% 定义傅里叶级数的项数
harmonics = 100;

% 方波的傅里叶级数
square_wave_approx = zeros(size(t));
for n = 1:2:harmonics
    square_wave_approx = square_wave_approx + (4/pi) * sin(2*pi*n*f*t)/(n);
end

% 三角波的傅里叶级数
triangle_wave_approx = zeros(size(t));
for n = 1:harmonics
    triangle_wave_approx = triangle_wave_approx + (8/(pi^2)) * (-1)^(n+1) * sin(2*pi*n*f*t)/(n^2);
end

步骤 4: 绘制原始信号与傅里叶级数合成信号

figure;
subplot(2,2,1);
plot(t, square_wave);
title('Original Square Wave');
subplot(2,2,2);
plot(t, square_wave_approx);
title('Square Wave Fourier Series Approximation');

subplot(2,2,3);
plot(t, triangle_wave);
title('Original Triangle Wave');
subplot(2,2,4);
plot(t, triangle_wave_approx);
title('Triangle Wave Fourier Series Approximation');

观察吉布斯现象

在合成信号的边缘处，你会看到一个小的振荡，这就是吉布斯现象。这是因为有限项的傅里叶级数在信号不连续点附近无法完全收敛到原信号值，而是会出现过冲和欠冲的现象。

以上代码将帮助你在MATLAB中生成和分析周期性信号，并观察傅里叶级数合成中的吉布斯现象。希望这能解决你的问题。如果你有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时提问。