在动态多目标优化问题中，第一幅图展示的是问题DF6的相关定义和绘制的POS和POF图，请问图中公式PS(t)和PF(t)是如何推导的

Question

在动态多目标优化问题中，第一幅图展示的是问题DF6的相关定义和绘制的POS和POF图，请问图中公式PS(t)和PF(t)是如何推导的？

下面图展示了我自己定义的多太多目标优化问题DSMOP1，仿照DF6的POS图和POF图，我想画出DSMOP1的POS和POF图，该如何绘制？若需要先求解其PS(t)和PF(t)公式，那么是怎么求解的呢？

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

要理解并推导出PS(t)和PF(t)，我们首先需要深入分析问题DF6的定义。根据提供的信息，我们可以看到DF6是一个动态多目标优化问题，其中目标函数依赖于时间t的变化。具体来说，目标函数由两个部分组成：f1(x) 和 f2(x)，它们都依赖于一个共同的函数g(x)，这个函数又包含了时间变量t的影响。

PS(t) 和 PF(t) 的推导

PS(t)

PS(t)代表了在特定时刻t的Pareto最优解集（Pareto Optimal Set）。对于问题DF6，PS(t)是在给定的时间t时，所有变量值的组合，这些组合构成了最优解集。根据定义：

[PS(t):0 \leq x_1 \leq 1, x_i = G(t), i = 2, ..., n]

这里G(t) = sin(0.5nt)是随时间变化的函数，意味着除了第一个变量x1可以在[0, 1]范围内自由变化外，其他变量x2至xn都等于G(t)。

PF(t)

PF(t)是时间t下的Pareto最优前沿（Pareto Optimal Front），即在目标空间中描述最优解集的曲线或区域。对于DF6，PF(t)可以被描述为：

[PF(t): f_2 + \frac{f_2^2}{2} = 1 + 0.2\sin(-\frac{f_2 + 1}{3}), 0 \leq f_1 \leq 1]

这个表达式是基于f1(x)和f2(x)的函数关系得出的，它定义了目标空间中的最优解集边界。

绘制POS和POF

为了绘制POS和POF，我们需要根据上述PS(t)和PF(t)的定义进行计算。下面是一个使用MATLAB进行绘制的示例代码：

% 定义参数和变量
t = 0; % 当前时间点
n = 30; % 变量数量
x1 = linspace(0, 1, 100); % x1的范围
G_t = sin(0.5 * pi * t); % 计算G(t)

% 计算g(x)
g_x = 1 + C * ((IG(t)^1.5 / 2 - 10 * cos(2 * pi * G_t) + 10));

% 计算f1(x) 和 f2(x)
f1 = g_x .* (x1 + 0.1 * sin(37 * x1)).^a;
f2 = g_x .* (1 - x1 + 0.1 * sin(3 * pi * x1));

% 绘制PS(t)的x1范围
figure;
plot(x1, zeros(size(x1)), 'b');
xlabel('x1');
ylabel('x2');
title('PS(t) for DF6');

% 绘制PF(t)
figure;
f2_range = linspace(0, 1, 100);
f1_pf = 1 + 0.2 * sin(-(f2_range + 1) / 3) - (f2_range.^2 / 2);
plot(f1_pf, f2_range, 'r');
xlabel('f1');
ylabel('f2');
title('PF(t) for DF6');

注意：上述代码中C, IG(t), 和 a 需要根据具体问题DF6的定义进行赋值，这里为了简化没有包含所有细节。

DSMOP1的POS和POF

对于DSMOP1，由于其定义与DF6不同，其PS(t)和PF(t)将有自己独特的表达式。根据DSMOP1的定义，你需要重新计算gns(x), gs(x), 和 H(x)，然后才能得到PS(t)和PF(t)的具体形式。一旦有了这些表达式，绘制POS和POF的过程与DF6相似，但具体的数学推导和计算会有所不同。

希望这能帮助你理解和绘制DSMOP1的POS和POF图。如果有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时提问。