matlab lsqr 在解的 迭代 1 处收敛，并且相对残差为 1是什么意思？评价函数一直保持不变了？

Question

背景：
在matlab的牛顿迭代中，我使用lsqr函数进行方程的求解，但是在迭代过程中，出现了如下所示的结果，并且从此之后评价函数的值基本没有变动，这是为什么呢？
问题：
“lsqr 在解的 迭代 1 处收敛，并且相对残差为 1。”
此外，在进一步迭代中，也出现了
“初始猜测值具有相对残差 1，该残差处于所需容差 0.001 内，因此 lsqr 返回该残差，而不会进行迭代。”
这是为什么呢？

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

首先，让我们理解一下 MATLAB 中的 lsqr 函数。该函数用于求解线性系统（即线性方程组的解），使用最小二乘QR分解法（Least Squares QR）。这种方法适用于线性方程组Ax = b无解或有多个解的情况。通过最小二乘法寻找一个近似解。对于求解的过程，我们需要明确以下几个关键概念：

1. 迭代收敛：当 lsqr 在迭代过程中找到满足某种条件的解时，它会停止迭代并返回结果。这里的“迭代 1 处收敛”意味着在第一次迭代时就找到了满足条件的解。这可能是因为它很快就找到了足够接近真实解的解，也可能是因为初始猜测值已经足够接近真实解。但仅仅根据这个信息，我们无法确切知道是哪一种情况。
2. 相对残差：相对残差是实际误差与理论误差之间的比值。在这个上下文中，相对残差为 1 可能意味着实际误差与理论误差相同，也就是说，当前的解可能并不理想或者没有满足预定的精度要求。这也可能是为什么在之后的迭代中继续发现相同的残差并返回。通常情况下，相对残差应该是一个较小的值，表示解已经足够接近真实解。如果相对残差为 1 或接近 1，那么可能意味着初始猜测值离真实解较远或预定的容差设置不合理。你可以尝试调整容差参数看看是否可以改进结果。在理想情况下，相对残差应该逐渐减小并在满足一定精度时停止迭代。但如果你的方程存在固有误差或者模型与实际情况不符等情况，则可能需要更多的分析来解决相对残差问题。你需要进一步审查你的模型和方程组是否正确。如果是求解一个线性方程组的话，可能存在无解或无穷多解的情况，需要确保方程是条件恰当的或有适当的约束条件来解决这些可能性。而对于第二个问题“初始猜测值具有相对残差 1”，这可能意味着你的初始猜测距离正确的解相当远或者设置的容忍度太低导致立即被检测到已经在所需要的精度内因此没有进一步的迭代进行下去。在这种情况下你可以尝试调整初始猜测值或者增加容忍度参数以允许更大的误差以得到更好的近似解而无需过分增加迭代次数。"所以结合以上信息可以得出结论如下：从给出的信息来看，"评价函数一直保持不变"很可能是因为函数收敛到了一个次优解或者在达到预定的容差水平后停止了进一步的迭代此外还可能涉及到你的初始猜测值和模型的问题你应该尝试优化你的初始猜测值或者模型调整容差参数并检查你的方程是否条件恰当以确保求解过程的正确性如果问题仍然存在可能需要更深入地分析你的问题和模型以解决这个迭代和收敛问题如果你能提供更多的关于你的模型和问题的具体信息我可以给出更具体的建议和帮助如果需要更深入的理解可以阅读更多关于数值方法和优化的专业书籍和资源这样可以帮助你更全面地理解和解决这个问题不过你可能也需要对你的数据和算法有更多的理解来确定适合的策略如果有关于这个问题的更具体代码信息我也会非常乐意帮助你在解读的过程中也可以给我提供更多上下文或者说明以供我给出更加符合实际应用的建议和分析