算法，贪心，一定面值兑换成硬币

Question

这个应该怎么思考，为什么第三个是错的，是因为例如兑换24面值的纸币，10、5、3三种硬币，实际上无法完成吗

Answer 1

以下内容由CHATGPT及阿里嘎多学长共同生成、有用望采纳：

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这个问题涉及到贪心算法在硬币兑换问题中的应用。贪心算法是一种在每一步选择当前看起来最优（最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最优的算法策略。在硬币兑换问题中，贪心算法通常是指先使用面额最大的硬币，然后逐步使用较小面额的硬币，直到达到所需的总金额。

让我们来分析这三个陈述：

陈述 (i)：使用25美分、10美分、5美分和1美分硬币时，贪心算法总是能得到最优解。这个陈述是正确的，因为这些硬币的面额是递减的，并且没有重叠。使用贪心算法，我们总是先使用最大的硬币（25美分），然后是10美分，依此类推，直到我们只剩下1美分的硬币。

陈述 (ii)：如果硬币面额是某个整数 ( c ) 的幂，即 ( c^0, c^1, ..., c^k )，贪心算法总是能得到最优解。这个陈述也是正确的，因为这些硬币面额同样没有重叠，并且是递减的。

陈述 (iii)：给定任何包含1美分的k种不同硬币面额，如果对于任何 ( n ) 都有解，那么贪心算法总是能得到最优解。这个陈述是错误的。问题中提到的10、5、3硬币面额就是一个反例。使用这三种面额的硬币，我们无法兑换出面值为24美分的金额，因为24不能被10、5、3整除。如果我们尝试使用贪心算法，我们会先使用两个10美分硬币，然后剩下的4美分无法用5美分或3美分硬币来兑换，因为它们都不能整除4。

因此，正确答案是 C. 陈述 (ii) 是错误的。这个问题说明了贪心算法在某些情况下不能得到最优解，特别是当硬币面额不是递减或者有重叠时。

至于参考链接，由于我无法提供外部链接，但我可以告诉你，你可以搜索“硬币兑换问题”和“贪心算法”来找到更多关于这个问题的讨论和解释。