关于ZOH的推导部分

Question

因为研究的一些原因，突然需要用到ZOH离散，但是我因为确实不是很懂这方面，一边沿着GPT给出的步骤，一边查找互联网，一点一点推导。但是在从蓝色式子到红色式子这一步实在不知道为什么。为什么在进行Z变换前可以通过采样把h(t)那么复杂的式子只变成h(k)那么简单的式子。不知道能不能有人点明一下，真的十分感谢。

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

为了更清晰地解释Zoh离散化的过程，我们先回顾一下傅里叶级数的基本概念。傅里叶级数是将一个周期函数分解为一系列正弦波和余弦波的和的形式。

首先，考虑一个周期函数 ( f(t) )，其傅里叶系数可以表示为： [ F_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-ikt} dt ] 这里 ( k ) 是傅里叶系数的指数。这个积分实际上就是计算出周期函数 ( f(t) ) 在频率 ( k ) 下的幅值。

接下来，我们定义一个简化后的版本，其中 ( h(t) ) 是原信号 ( f(t) ) 的高斯窗函数，即 ( h(t) = e^{-|t|}), 其中 ( |t| ) 表示绝对值。这样，( h(t) ) 就是一个周期函数，并且具有非常简单的关系，因为它仅依赖于时间的绝对值而不是绝对值的平方（即 ( |t|^2 )）。因此，我们可以将 ( f(t) ) 分解为两个分量：一个与 ( h(t) ) 相关的成分，另一个与 ( h(t)^2 ) 相关的成分。这意味着我们可以在 ( h(t) ) 上应用傅里叶级数，从而得到简化后的 ( f(t) ) 的傅里叶级数。

接下来，我们需要找到 ( h(t) ) 和 ( f(t) ) 之间的关系，以便可以将 ( f(t) ) 离散化。由于 ( h(t) ) 只依赖于绝对值，我们可以将其视为 ( f(t) ) 的低频成分，而 ( h(t)^2 ) 则包含了高频成分。因此，我们可以将 ( f(t) ) 离散化为 ( h(t) ) 的离散化。离散化的 ( f(t) ) 将会包含 ( h(t) ) 中的低频成分，而不会包含 ( h(t)^2 ) 中的高频成分。

在这个过程中，我们通过采样得到的 ( h(t) ) 作为原始信号的一部分，然后对这些样本进行处理，使其符合离散系统的输入输出特性。采样的目的是将连续信号转换为离散信号，同时保持原有的信息。采样时，我们将 ( h(t) ) 按照一定的间隔抽取出来，形成一个新的序列，这就是所谓的采样序列。

采样后，我们将采样序列中的每个样本按照特定方式组合起来，形成新的信号 ( y[k] )，它代表了采样时刻 ( t=kT ) 处的信号。这个新信号 ( y[k] ) 实际上是经过离散化处理的 ( f(t) ) 的一个近似复现。通过这种方式，我们可以将一个复杂的时间域信号 ( f(t) ) 离散化，使得它可以被离散系统所接收和处理。

总结一下，当我们在Z变换之前采用采样技术时，实际上是将原始信号的某些部分（例如，与高阶次项相关的部分）离散化，从而使它们成为离散系统的可接受输入。这是因为高阶次项通常不满足线性系统模型的要求，而在实际工程应用中，往往需要对信号进行滤波或其他处理以适应离散系统的特性。