报童问题和运筹学数学，求解答

Question

第一问ai回答的对吗，总觉得不对啊，求高人指点，因为老师上课讲的是超额利润为Co（Q-x）f（x）d(x)的从o到Q求积分，和ai写的不一样呀，还有缺货的利润也不一样

Answer 1

以下内容由CHATGPT及阿里嘎多学长共同生成、有用望采纳：

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首先，我们来理解报童问题。在运筹学中，报童问题是一个经典的库存管理问题，它涉及到如何确定最优的进货量以最大化预期利润。这个问题通常涉及到需求的不确定性，并且需要考虑库存过剩和缺货的风险。

对于你提出的问题，我们先来推导一下利润函数。

1. 利润函数的推导：

   • 假设需求量 ( D ) 服从正态分布 ( N(\mu, \sigma^2) )，其中 ( \mu = 600 ) 千克，( \sigma = 100 ) 千克。
   • 进货量 ( Q ) 千克，进货单价 ( c = 10 ) 元/千克，销售单价 ( p = 20 ) 元/千克，回收单价 ( w = 5 ) 元/千克。

   当需求量 ( D \geq Q ) 时，所有进货都能卖出，利润为 ( (p - c)Q )。

   当需求量 ( D < Q ) 时，只能卖出 ( D ) 千克，剩余 ( (Q - D) ) 千克以回收单价卖出，利润为 ( (p - c)D + (w - c)(Q - D) )。

   因此，总利润函数 ( \Pi(Q) ) 可以表示为： [ \Pi(Q) = \int_{-\infty}^{Q} (p - c)D f(D) dD + \int_{Q}^{\infty} [(p - c)D + (w - c)(Q - D)] f(D) dD ]

   其中 ( f(D) ) 是正态分布的概率密度函数。

2. 比较AI给出的利润函数表达式与老师上课讲的方法：

   • AI给出的利润函数表达式似乎没有正确地考虑正态分布的概率密度函数 ( f(D) )。
   • 老师上课讲的方法是使用积分来计算不同需求量下的利润期望值，这是正确的方法，因为它考虑了所有可能的需求量及其概率。

3. 正确表达式：

   • 根据老师的方法，我们需要计算超额利润的期望值，即： [ \Pi(Q) = \int_{0}^{Q} (p - c)(Q - x) f(x) dx + \int_{Q}^{\infty} (w - c)(Q - x) f(x) dx ]
   • 这里，第一个积分计算了当 ( D < Q ) 时的期望利润，第二个积分计算了当 ( D \geq Q ) 时的期望利润。

数学原理：

• 积分是用来计算连续变量的期望值的一种方法。在这个问题中，我们需要计算不同需求量下的利润，并将它们加权（根据它们发生的概率）来得到总的期望利润。

结论：

• AI给出的表达式没有正确地应用积分和正态分布的概率密度函数。
• 老师的方法是正确的，因为它使用了积分来计算不同需求量下的利润期望值，并且考虑了正态分布的特性。

如果你需要进一步的帮助，比如计算具体的最优进货量 ( Q^* )，我们可以继续讨论。同时，我可以提供一些参考链接，但请注意，由于我不能直接访问外部资源，以下链接仅供参考：

• 正态分布
• 报童问题
• 运筹学中的积分