怎么归纳递归数列的通项表达式？

Question

\Delta y1=k(y0-y1),y2=y1+\Delta y1 \Delta y2=k(y0-y2),y3=y2+\Delta y2 \Delta y3=k(y0-y3),y4=y3+\Delta y3 y4=y3+k(y0-y3) y4=y2+\Delta y2+k(y0-y2) y4=y2+\Delta y1+k(y0-y2)+k(y0-y2) y4=y1+\Delta y1+k(y0-y1)+k(y0-y1-\Delta y1)+k(y0-y1-\Delta y1) y4=y1+k(y0-y1)+k(y0-y1)+k(y0-y1-k(y0-y1))+k(y0-y1-k(y0-y1)) y4=y1+ky0-ky1+ky0-ky1+ky0-ky1-k^2y0+k^2y1+ky0-ky1-k^2y0+k^2y1 y4=4ky0+2k^2y0+(1-4k)y1-2k^2y1 y4=(4+2k^2)y0+(1-4k-2k^2)y1
对于如上数列，如何求解其通项表达式？
对于递归数列，有哪些方法求解其递归数列，在那本数学书里参考学习？重点推荐数学专业的书籍

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

要解决这个问题，我们可以将给定的递归数列表示为一个等差数列，并尝试找到它的通项公式。

首先，观察数列中的规律：

• (y_1 = k(y_0 - y_1))
• (y_2 = y_1 + \Delta y_1)
• (y_3 = y_2 + \Delta y_2)
• 等等...

我们注意到每一项都是前一项与某个常数之和，这个常数是(k)和每个(y_i)之间的差值。

因此，我们可以将数列写成下面的形式： [y_n = y_{n-1} + k(y_0 - y_{n-1})] [y_n = (y_{n-1} + k(y_0 - y_{n-1})) + k(y_0 - y_{n-1})] [y_n = y_{n-1} + ky_0 - ky_{n-1}]

接下来，我们将(y_{n-1})替换到上面的方程中： [y_n = y_{n-1} + ky_0 - ky_{n-1}] [y_n = ky_0 - ky_{n-1} + y_{n-1}] [y_n = ky_0 + (-ky_{n-1} + y_{n-1})] [y_n = ky_0 + (-k+1)y_{n-1}]

从这里可以看出，每一步都是前一步加上一个系数的变化。这表明这是一个关于(y_0)和(k)的线性关系，其中系数为-1。所以，我们可以得到数列的通项公式： [y_n = ky_0 - ky_{n-1} + ky_0 + ky_{n-1}] [y_n = 2ky_0 + ky_{n-1}]

这就是数列的通项公式。

对于递归数列的求解，通常可以采用分治法（divide and conquer）的思想，即分解原始问题，将其拆分为更小的问题，然后逐步解决这些子问题，直到问题变得足够简单为止。这样做的目的是减少计算量，提高效率。在处理递归数列时，通常会寻找一种结构化的方法来简化问题，以便更容易地进行递归调用和回溯。

在数学书中，这类问题可能出现在组合学、代数、算法分析等领域。具体的学习资源取决于你所在的专业背景和研究方向。例如，在计算机科学领域，可能会推荐《算法导论》(Introduction to Algorithms) 这本书，这本书包含了递归算法的一些基本概念和技巧。

如果你需要进一步的帮助或有其他数学问题想要讨论，请随时告诉我。