PEOI Rd1(关键词-异或)

Question

「PEOI Rd1」异或（xor）
时间限制：1s
内存限制：131M
【题目描述】
给定两个正整数 n,mn,m，求：
i=1 j=1
∑ ∑(i⊕j)
n m

Answer 1

以下内容由CHATGPT及阿里嘎多学长共同生成、有用望采纳：

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这个问题实际上是一个数学问题，而不是一个编程问题。异或和可以通过数学公式直接计算出来，而不需要遍历所有的数进行异或操作。对于任意两个整数 ( n ) 和 ( m )，我们需要计算从 1 到 ( n ) 的所有整数与从 1 到 ( m ) 的所有整数的异或结果之和。

首先，我们需要理解异或运算的性质。异或运算满足交换律和结合律，即对于任意整数 ( a, b, c )，有： [ a \oplus b = b \oplus a ] [ (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c) ]

对于一个数 ( x )，它与 1 异或的结果就是 ( x ) 除以 2 的余数（即 ( x ) 的最低位）。因此，我们可以将问题转化为计算从 1 到 ( n ) 的所有数的最低位的和，以及从 1 到 ( m ) 的所有数的最低位的和。

对于一个数 ( x )，它在二进制表示中有多少个 1 就有多少个最低位是 1 的。例如，对于 ( x = 5 )（二进制为 101），它有两个最低位是 1 的。我们可以通过 ( x ) 的二进制表示中的 1 的个数来计算这个和。

对于从 1 到 ( n ) 的所有数的最低位的和，可以通过以下公式计算： [ \text{sum} = n \times \left(\frac{n + 1}{2}\right) ]

这是因为从 1 到 ( n ) 的所有数的和是 ( \frac{n \times (n + 1)}{2} )，而每个数的最低位是 1 的概率是 1/2，所以乘以 ( n )。

然后，我们需要考虑 ( n ) 和 ( m ) 之间的差异。如果 ( n > m )，我们需要添加从 ( m+1 ) 到 ( n ) 的所有数的最低位的和。如果 ( n < m )，我们需要从 ( m ) 的和中减去从 ( n+1 ) 到 ( m ) 的所有数的最低位的和。

最后，将这两部分相加或相减，就得到了最终的异或和。

这个问题的关键在于使用数学公式来避免实际的异或运算，这样可以在极短的时间内解决问题，满足时间限制的要求。

至于参考链接，这个问题是一个算法问题，通常不需要外部链接，但是如果你想查看更多关于异或运算和数学技巧的信息，你可以搜索 "异或和 算法" 或 "XOR sum algorithm" 来找到相关的讨论和实现。