（潜水员）一道野题：反背包，求大家给思路

Question

说明
潜水员为了潜水要使用特殊的氧气气缸。每个气缸都有重量和容量。潜水员为了完成他的工作需要特定数量的氧气，那么他完成工作所需气缸的总重的最低限度的是多少？
例如：潜水员有5个气缸。每行两个数字为：容量和重量：
3 120
10 1290
5 250
1 130
4 119
如果潜水员需要5升的氧，则总重最小为239 (3,4号气缸)。虽然2，4+5，1+3也都可以，但不是最优。
你的任务就是计算潜水员为了完成他的工作需要的气缸的重量的最低值。

输入格式
第一行为一个整数t（1<=t<=1000）。它们表示氧的需要量。
第二行为整数n （1<=n<=1000）表示气缸的个数。
此后的n行，每行包括ti，wi（1<=ti<=1000，1<=wi<=1000）两个整数气缸的容量及重量。

输出格式
仅一行包含一个整数，为潜水员完成工作所需的气缸的重量总和的最低值。

样例
输入数据 1
5
5
3 120
10 1290
5 250
1 130
4 119
输出数据 1
23

题目如上，反背包的问题，想问问大家如何写出其转移方程or如何理解
原网站

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

这是一个典型的背包问题的变体，叫做“反背包问题”，这里的物品是氧气气缸，目标是使得总重量最小。我们可以使用动态规划来解决这个问题。动态规划的关键在于定义状态转移方程，接下来我会解释如何定义状态转移方程以及理解这个问题。

假设我们有n个气缸，每个气缸都有容量和重量。我们的目标是找到一组气缸，使得它们的总容量大于等于需要的氧气量t，并且总重量尽可能小。我们可以使用动态规划来解决这个问题，并且定义状态转移方程来找到最优解。

我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个气缸中选取一些气缸，使得其总容量至少为j时所需的最小重量。我们的目标是找到dp[n][t]，即在前n个气缸中选取一些气缸，使得其总容量恰好为t时的最小重量。

状态转移方程可以这样定义：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-capacity[i]] + weight[i])

其中，dp[i-1][j]表示不使用第i个气缸时的最小重量，dp[i-1][j-capacity[i]] + weight[i]表示使用第i个气缸时的最小重量。我们选择两者中的较小值作为dp[i][j]的值。初始状态为dp[0][j] = 无穷大（表示不可能达到某个容量），除了dp[0][0] = 0（表示不需要任何气缸就能满足需求）。最终的答案为dp[n][t]。

这个过程可以用动态规划实现，具体步骤如下：

1. 初始化一个二维数组dp，大小为(n+1) x (t+1)，将所有元素初始化为无穷大，除了dp[0][0] = 0。
2. 从第一个气缸开始遍历到最后一个气缸，对于每个气缸，遍历其容量到需求的氧气量（包括容量和需求的氧气量）。对于每个容量j和每个气缸i，根据状态转移方程更新dp[i][j]。
3. 最后的结果就是dp[n][t]，即在前n个气缸中选择一些气缸，使得总容量恰好为t时的最小重量。如果结果不是无穷大，则表示找到了解决方案；否则表示无法满足需求。如果找到了解决方案，我们可以回溯找到选择的气缸组合。但由于题目只要求最小重量，不要求具体的组合方式，所以我们只需要输出最小重量即可。以下是对应的Python代码实现：

def minimumWeightRequired(t, n, capacities, weights):
    # Initialize dp matrix with dimensions (n+1) x (t+1) with infinity values
    dp = [[float('inf')] * (t + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = 0  # Initialize base case where no cylinder is used
    # Iterate over each cylinder and each capacity
    for i in range(1, n + 1):  # Cylinder loop
        for j in range(t, capacities[i - 1], -1):  # Capacity loop (from capacity of cylinder i down to t)
            # Update dp value based on whether we use the current cylinder or not
            dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - capacities[i - 1]] + weights[i - 1])
    return dp[n][t]  # Return the minimum weight required to meet the demand t with n cylinders