物理竞赛中的抛体运动问题

Question

题目：最大与地面呈什么角度抛出石子，才能使石子在运动过程中始终远离抛掷石子的人，不计石子所受的阻力
他的答案中有一句话是，当石子的速度垂直于其位置矢量时，石子距离原始位置最远，我不明白这是为什么，能不能帮忙解释一下，谢谢

Answer 1

以下内容由AIGC及阿里嘎多学长共同生成、有用望采纳：

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好的，让我们一步步来解决这个问题。

第1步：理解抛体运动的基本物理原理

抛体运动是指物体在重力作用下，只受重力的抛射运动。在没有空气阻力的情况下，抛体运动可以分为水平和垂直两个方向的运动：

1. 水平方向：物体以恒定速度沿水平方向移动。
2. 垂直方向：物体在垂直方向上做自由落体运动。

第2步：分析石子在不同抛出角度下的运动轨迹

假设石子的初始速度为( v )，抛出角度为( \theta )。则：

• 水平速度：( v_x = v \cos \theta )
• 垂直速度：( v_y = v \sin \theta )

石子的水平位置( x )和垂直位置( y )随时间( t )的变化为：

• ( x = v_x t = v \cos \theta \cdot t )
• ( y = v_y t - \frac{1}{2} g t^2 = v \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 )

其中( g )是重力加速度。

第3步：找出使石子始终远离抛掷者的最优角度

要使石子始终远离抛掷者，需要石子在水平方向上的速度始终大于零，即( \cos \theta > 0 )。这意味着抛出角度( \theta )必须小于90度。

第4步：解释为什么当石子的速度垂直于其位置矢量时，石子距离原始位置最远

这里涉及到一个几何问题。石子的位置矢量( \vec{r} )可以表示为： [ \vec{r} = \langle x, y \rangle ]

石子的速度矢量( \vec{v} )可以表示为： [ \vec{v} = \langle v_x, v_y \rangle ]

当石子的速度矢量与位置矢量垂直时，它们之间的夹角为90度。这意味着： [ \vec{r} \cdot \vec{v} = x v_x + y v_y = 0 ]

将( x )和( y )的表达式代入： [ v \cos \theta \cdot v \cos \theta \cdot t + (v \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2) \cdot v \sin \theta = 0 ] [ v^2 t (\cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - \frac{1}{2} g t \sin \theta) = 0 ]

由于( v )和( t )都不为零，因此： [ \cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - \frac{1}{2} g t \sin \theta = 0 ]

这个方程告诉我们，当石子的速度矢量与位置矢量垂直时，石子在水平方向和垂直方向上的位移满足特定的关系，使得石子在这一点上距离原始位置最远。

第5步：模拟不同角度下的抛体运动

可以通过编写代码或使用物理模拟软件来模拟不同角度下的抛体运动，验证理论分析的正确性。这里我们可以通过数学推导来进一步验证。

假设我们选择一个特定的时间( t )，计算石子在不同角度( \theta )下的距离( d )： [ d^2 = x^2 + y^2 = (v \cos \theta \cdot t)^2 + (v \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2)^2 ]

通过求导并找到极值，可以验证在什么角度下( d )最大。

希望这个解释能帮助你理解这个问题！如果你需要进一步的数学推导或模拟，可以继续探讨。