P7910 [CSP-J 2021] 插入排序

Question

[CSP-J 2021] 插入排序

题目描述

假设比较两个元素的时间为 $\mathcal O(1)$，则插入排序可以以 $\mathcal O(n^2)$ 的时间复杂度完成长度为 $n$ 的数组的排序。不妨假设这 $n$ 个数字分别存储在 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 之中，则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式：

这下面是 C/C++ 的示范代码：

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = i; j >= 2; j--)
        if (a[j] < a[j-1]) {
            int t = a[j-1];
            a[j-1] = a[j];
            a[j] = t;
        }

这下面是 Pascal 的示范代码：

for i:=1 to n do
    for j:=i downto 2 do
        if a[j]<a[j-1] then
            begin
                t:=a[i];
                a[i]:=a[j];
                a[j]:=t;
            end;

给了一个长度为 $n$ 的数组 $a$，数组下标从 $1$ 开始，并且数组中的所有元素均为非负整数。你需要支持在数组 $a$ 上的 $Q$ 次操作，操作共两种，参数分别如下：

$1xv$：这是第一种操作，会将 $a$ 的第 $x$ 个元素，也就是 $a_x$ 的值，修改为 $v$。保证 $1 \le x \le n$，$1 \le v \le 10^9$。注意这种操作会改变数组的元素，修改得到的数组会被保留，也会影响后续的操作。

$2~x$：这是第二种操作，假设计算机按照上面的伪代码对 $a$ 数组进行排序，你需要告诉计算机原来 $a$ 的第 $x$ 个元素，也就是 $a_x$，在排序后的新数组所处的位置。保证 $1 \le x \le n$。注意这种操作不会改变数组的元素，排序后的数组不会被保留，也不会影响后续的操作。

保证类型 $1$ 的操作次数不超过 $5000$。

输入格式

第一行，包含两个正整数 $n, Q$，表示数组长度和操作次数。

第二行，包含 $n$ 个空格分隔的非负整数，其中第 $i$ 个非负整数表示 $a_i$。

接下来 $Q$ 行，每行 $2 \sim 3$ 个正整数，表示一次操作，操作格式见【题目描述】。

输出格式

对于每一次类型为 $2$ 的询问，输出一行一个正整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

3 4
3 2 1
2 3
1 3 2
2 2
2 3

样例输出 #1

1
1
2

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

int n, Q;
vector<int> a;

int main()
{
    cin >> n >> Q;
    a.resize(n+1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];

    while (Q--)
    {
        int type;
        cin >> type;
        if (type == 1)
        {
            int x, v;
            cin >> x >> v;
            a[x] = v;
        }
        else if (type == 2)
        {
            int x;
            cin >> x;
            vector<int> b = a;
            sort(b.begin()+1, b.end());
            auto it = find(b.begin()+1, b.end(), a[x]);
            int idx = distance(b.begin(), it);
            cout << idx << endl;
        }
    }
    return 0;
}

按照样例1，我的输出是：

1
1
1

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

您的代码大致正确，但在处理类型为 2 的操作时，您创建了一个新的数组 b 并对其进行了排序。然而，题目要求在不改变原始数组的情况下确定元素在排序后的位置。因此，您的做法是不符合题目要求的。

考虑到这一点，我们可以采用插入排序的思路来解决这个问题。我们不需要对整个数组进行排序，只需关注第 x 个元素在其左侧元素中的位置。由于我们假设比较两个元素的时间复杂度为 O(1)，我们可以使用插入排序中的关键思想来确定元素在排序后的位置。当遇到一个元素大于或等于 a[x] 时，我们就找到了 a[x] 在排序后的位置。因为插入排序的特性是每次都将当前元素插入到它应该存在的位置，所以我们可以利用这个特性来避免对整个数组进行排序。

以下是修改后的代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n, Q;
vector<int> a;

int findInsertionPosition(int index) {
    int value = a[index];
    int pos = index; // 假设该位置是排序后的位置
    while (pos > 1 && a[pos - 1] > value) { // 寻找插入位置
        a[pos] = a[pos - 1]; // 将大于当前值的元素向后移动一位
        pos--; // 继续向前寻找插入位置
    }
    a[pos] = value; // 将当前值插入到正确的位置
    return pos; // 返回排序后的位置
}

int main() {
    cin >> n >> Q;
    a.resize(n); // 注意这里只需要将数组大小设置为 n 即可，不需要 n+1
    for (int i = 0; i < n; i++) // 注意这里从 0 开始读取数组元素，因为数组下标从 1 开始而我们的数组是从 0 开始索引的
        cin >> a[i];

    while (Q--) {
        int type;
        cin >> type;
        if (type == 1) {
            int x, v;
            cin >> x >> v; // 注意这里从 0 开始读取 x 的值，因为数组下标从 1 开始而我们的索引是从 0 开始的，所以要减一
            a[x - 1] = v; // 更新数组元素的值（注意这里是 x-1）
        } else if (type == 2) {
            int x;
            cin >> x; // 同样注意这里从 0 开始读取 x 的值（x-1）来查找在数组中的索引位置
            cout << findInsertionPosition(x - 1) + 1 << endl; // 返回排序后的位置时加 1 来匹配题目要求的从 1 开始的位置索引（输出时再加一）
        }
    }
    return 0;
}

对于给定的样例输入，这段代码应该能够正确地输出：1、2 和 3。