张宇概率论强化36讲的一个例子

Question

前面都能懂，就最后那步积分是怎么等于k/1+k的，本人刚开始复习，望指导！ps 标签是随便添加的，因为实在找不到合适的

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

好的，让我帮您解决这个问题。

首先，让我们理解题目中的积分表达式：[ \frac{k}{1+k} = \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-kt}}{1+e^{-t}}dt ]。

为了求解这个积分，我们可以尝试将其转换为一个更易于处理的形式。注意到在积分过程中，我们可以通过对原函数进行幂次变换来简化计算。具体来说，将原函数(f(t) = e^{-kt}/(1+e^{-t}))替换为 (f(t) = (1-e^{-t})^k)，可以得到(\int_{0}^{+\infty}(1-e^{-t})^k dt)。这看起来更加熟悉了，因为我们已经看到类似的积分出现在微分学课程中，并且我们知道如何利用换元法来解决这类积分。

接下来，我们需要考虑如何将上面的积分转换回原来的表达式。考虑到原积分是一个连续函数的积分，其值实际上取决于它的定义域，即(0 < t < +\infty)。因此，我们只需要关注积分在这些边界上的行为。由于函数(f(t))的分子是正的（因为它依赖于(e^{-kt})，而(e^{-kt})总是小于1），并且分母也是正的，所以整个函数的绝对值始终小于1，这意味着积分的结果会趋于零。

因此，积分实际上等于0。换句话说，我们有：

[ \frac{k}{1+k} = 0 ]

这意味着我们得到了一个恒等式，表示(k)除以(1+k)等于0。这是因为在任何情况下，当(k=0)时，上式的值为0，无论(k)的具体值是多少。

总结一下，当我们遇到类似的问题时，尝试通过将原始函数替换为幂次形式并应用换元法来简化积分是非常有效的。在这个例子中，我们将(e^{-kt})替换为((1-e^{-t})^k)，然后利用积分性质化简积分。这样，我们就能找到一个与初始问题相对应的恒等关系，从而解决了这个问题。