前缀和查分：圣诞礼物树

Question

K14208 圣诞礼物树
题目描述
圣诞节快到了，FJ计划用礼物来装扮家门口的N棵圣诞松树（编号1-N，且N是奇数，1≤N≤1000000 ），也就是将礼物挂在这些树上。FJ会告诉他最信任的奶牛Bessie一共K个命令，每个命令包含两个整数A和B，表示Bessie需要将编号为A-B范围内的所有圣诞树上各挂上一个礼物。例如，如果命令是“9 12”，那么Bessie应该给编号为9,10,11,12的圣诞树各增加一个礼物。

当Bessie执行完所有的命令后，FJ想知道这N棵圣诞树上的礼物数量的中位数是多少，也就是如果把这N棵圣诞树按照礼物数量排序，序列的中间值是多少？
因为N是奇数，所以中间值是惟一的。请帮助Bessie计算出答案。

输入格式
第一行，用空格隔开的两个整数分别表示N和K（1≤N≤1000000；1≤K≤25000）
接下来K行，表示FJ的K个命令，格式是“A B”，其中1≤A≤B≤N

输出格式
输出一行，一个整数，表示NN棵圣诞树上的礼物数量的中位数

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

解决这个问题的一个方法是通过前缀和的概念来实现高效的计数。我们首先对每一棵圣诞树的初始礼物数量进行初始化，也就是每棵树的礼物数量为0。接着根据每个命令增加对应的圣诞树的礼物数量。为了找到中位数，我们需要对所有的礼物数量进行排序，然后找到中间的数。但是这种方法在处理大量数据时效率不高。我们可以使用前缀和的概念优化这个过程。

算法步骤如下：

1. 初始化一个数组count，其中count[i]表示编号为i的圣诞树当前的礼物数量。初始时所有元素都为0。
2. 对于每个命令“A B”，将count[A]到count[B]之间的所有元素都增加1。这可以通过使用前缀和数组来实现，使得时间复杂度降低到O(K)。
3. 计算前缀和数组prefixSum，其中prefixSum[i]表示从编号为1到编号为i的圣诞树的礼物总数。这需要遍历整个数组一次。我们可以通过遍历一次数组count计算前缀和数组。同时我们需要记录下最大的礼物数量值，以确定中位数的位置。这也可以通过遍历一次数组完成。同时维护一个累加礼物的变量和一个累计数量是否为奇数的标志变量来确定中位数的位置是否要四舍五入向上取整。这是因为题目中的N是奇数，所以中位数是唯一的。如果累计数量是偶数，则中位数就是中间两个数的平均值；如果是奇数，则中位数就是中间的那个数。这需要一个额外的变量来记录累加次数为奇数时的累积值位置（也就是中位数所在的位置）。因为我们要找的是中位数，所以我们需要在每次累加完一个数的礼物数量后判断当前累计的礼物数量是奇数还是偶数来决定中位数的位置是否需要向上取整。同时记录下最大的礼物数量值以确定中位数的范围。
4. 找到中位数的位置：如果累加的总礼物数量为奇数，则中位数是prefixSum数组中对应位置的元素；如果累加的总礼物数量为偶数，则中位数是对应位置前后两个元素的平均值（选择更大的一个）。然后输出中位数的值。考虑到可能有重复值的存在（也就是存在多棵圣诞树礼物数量相同），我们需要找到中位数的具体数值而不是其在数组中的索引位置的值（这是求众数或中间数经常遇到的误区）。可以通过对礼物数量计数的方法实现这个步骤，即遍历整个前缀和数组找到中位数的具体数值。由于中位数的位置是唯一的，所以这样的算法可以找到正确的答案。这种算法的时间复杂度是O(N)。如果在数组中没有重复元素，或者对于具有重复元素的极端情况也成立的话，那么这个算法的效率应该是足够快的。但是考虑到题目的限制条件和数据规模，我们需要确保算法的效率足够高以避免超时。因此，在算法实现过程中要尽量优化计算过程和提高效率。我们可以使用优先队列或者排序后的二分查找来快速找到中位数的具体位置及其对应的值（具体取决于数据结构和算法实现方式）。这样可以保证在大数据量下算法依然高效运行并得出正确的结果。注意这里所说的“中位数”是指整个数列的中位数而不是数组索引位置的值或最大值等概念上的误解。因此我们需要确保算法能够准确地找到这个唯一的中位数并输出其值。如果问题中允许存在多个中位数的情况（即存在多个相同的中间值），那么这个问题就需要更复杂的处理逻辑来确保所有可能的解都被找到并输出（比如找到所有中间值的集合）。然而在这个特定问题中我们只关心唯一的中位数值本身而不关心其他可能的解因此我们可以专注于找到这个唯一的中位数并输出其值不需要寻找其他的解在这里可以参照一个标准库的算法函数用于找出无序数组中唯一的排序后中位数我们需要注意这一点避免引入额外的复杂性对于这个特定的应用场景我们需要关注快速找到中位数的数值并确保程序的效率和准确性在这个过程中我们还可以尝试一些优化的技巧例如利用空间复杂度换取时间复杂度在允许的情况下优化内存使用等等但最终目标是实现一个准确且高效的解决方案来解决这个问题。", "为了解决这个问题，我们可以使用C++编程语言来实现算法逻辑。下面是一个可能的解决方案代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm> // for std::sort
#include <cmath> // for std::ceil and std::floor functions

using namespace std;

int main() {
    int N, K; // N is the number of trees, K is the number of commands
    cin >> N >> K; // read input from stdin
    vector<int> count(N + 1, 0); // initialize tree counts to zero
    vector<int> prefixSum(N + 1, 0); // prefix sum array for efficient updates
    long long totalGifts = 0; // total gifts across all trees (long long for large values)
    int medianPosition = N / 2 + 1; // position of the median in sorted counts (N is odd)
    int medianValue = 0; // the median value itself (will be computed later)
    bool isMedianPositionOdd = false; // flag to round up if median position is