关于使用双自由度的随机减量技术（2DOF-RD）法拟合混叠的模态信号时拟合不良的问题

Question

请教各位，已知一组带频率相近的混叠模态的衰减信号y，尝试已知频率ω_i（通过最原始信号功率谱拾取峰值对应的频率ω_i，然后使用RDT技术得到衰减信号y），使用双自由度的随机减量技术（2DOF-RD，为Tamura教授等人提出[1][2]，经周康等人成功实践[3]（原文04019102-13页），图1）来非线性拟合阻尼比h_i（最终目的）。拟合方法用最小二乘法。原始数据为一组混叠的衰减曲线，n取2（代码块1）。结果发现matlab提示出现病态雅可比矩阵（图2）。图3中深蓝色虚线为原始信号曲线，浅蓝色实线为错误的拟合线。即使改用希尔伯特（Hilbert）变换生成包络线后再拟合包络线（代码块2）也会出现这个问题（图4~图5，其中图5中绿色为准确的包络线，蓝色为将R_i(t)去除余弦项后得到的“拟合线”，显然图6的拟合效果无法得到真正接近的阻尼比）。不知道怎么解决这个问题，请教各位如何解决。

图1

%已知时间向量t1与带频率相近的混叠模态的衰减信号y
guess = [1,0.01,0.01,1,0.01,0.01,0];%未知参数的初值
guess_f = [0.1663,0.1862];%已知的两模态的频率Hz
myFun = @(a,x) a(1)./sqrt(1-a(2)^2).*exp(-a(2).*guess_f(1).*x).*cos(sqrt(1-a(2)^2).*guess_f(1).*x-a(3))+a(4)./sqrt(1-a(5)^2)*exp(-a(5).*guess_f(2).*x).*cos(sqrt(1-a(5)^2).*guess_f(2).*x-a(6))+a(7);
[coeff,R1,J1,CovB1,MSE1] = nlinfit(t1,y,myFun,guess);%t1为时间向量，y为带频率相近的混叠模态的衰减信号

图2

图3

图4

%已知时间向量t1与带频率相近的混叠模态的衰减信号y
envelop = abs(hilbert(y));
envelop(1)=y(1);
guess = [1,0.01,1,0.01,0];%未知参数的初值
guess_f = [0.1663,0.1862];%已知的两模态的频率Hz
myFun = @(a,x) a(1).*exp(-a(2).*x)+a(3).*exp(-a(4).*x)+a(5);%a(1)、a(3)表示幅值，a(2)、a(4)表示阻尼与频率的乘积
[coeff,R1,J1,CovB1,MSE1] = nlinfit(t1,envelop,myFun,guess);%t表示自变量，y 表示因变量，myfun给定的含有未知参数的函数结构，guess未知参数的初值
zeta1 = abs(coeff(2)./guess_f(1));
zeta2 = abs(coeff(4)./guess_f(2));

图5

参考文献：
[1] TAMURA Y, ZHANG L, YOSHIDA A, et al. Ambient vibration tests and modal identification of structures by FDD and 2DOF-RD technique[J]. The Proceedings of the Symposium on the Motion and Vibration Control, 2002,2003.8.
[2] TAMURA Y, YOSHIDA A. Amplitude Dependency of Damping in Buildings[C]//, 2008: 1-10.
[3] ZHOU K, LI Q, LI X. Eliminating Beating Effects in Damping Estimation of High-Rise Buildings[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2019,145(12): 4019102.

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

对于你的问题，我会尝试给出一些可能的解决方案和建议。你的问题涉及到多个方面，包括数据处理、模型选择和拟合过程。让我们逐一分析并解决这些问题。

数据处理与准备

首先，确保你的数据是高质量的，并且预处理得当。这可能包括去除噪声、标准化数据等步骤。对于混叠模态信号，可能需要更复杂的处理步骤，如频率域分离等。这些预处理步骤可能会影响后续模型拟合的效果。尝试多种不同的处理方法以找出最佳结果。例如使用频谱分析进行频率域的混叠信号分离，然后使用适当的方法进行参数拟合。考虑尝试滤波器技术来提高信号的频率分离效果。注意去除混入数据中的非物理性影响。数据不准确或不完整可能是导致拟合问题的主要原因之一。因此，请确保你的数据质量足够好，并已经进行了适当的预处理。这可以通过尝试对数据进行归一化或调整尺度来完成对阻尼参数的测量准备来完成工作基础建模的一部分（与传感器校准和信号采集过程有关）。确保在建模过程中考虑到数据的真实性和可靠性问题。检查是否有异常值或噪声干扰，并考虑采用滤波技术或数据平滑方法来改善数据的准确性和一致性。有时候不同的初始猜测参数也会对模型产生很大的效果尝试在不同的初值点开始参数优化看看收敛的效能，甚至可以在确保合适性和相关性的前提下对数据进行分层分阶段的回归拟合分析以改善模型的收敛性和稳定性。此外，尝试使用不同的方法来估计频率和阻尼比以查看是否存在其他可用的替代方法可能适用于你的情况更成功，特别是考虑利用不同的信号处理和分析工具，例如Hilbert变换的改进版本或变体以及其他针对模态分析的工具。这将有助于改进拟合过程的稳健性和准确性，并可能解决病态雅可比矩阵的问题。此外，确保你的模型参数在合理的范围内，避免过度拟合或欠拟合的情况。考虑使用交叉验证等技术来评估模型的性能。如果仍然存在问题，可能需要进一步调查模型本身的问题以及参数设置的正确性或者是否需要重新设定初始猜测参数范围及可能性的数值分析流程来解决这个问题避免初始值设置的过度优化或不稳定性导致的误差传播至最终阻尼比的评估上我们需要确定每个参数的初始估计值是合适的接近实际数值以便于能够顺利地实现收敛优化和预测误差最小化的过程来估计最终的阻尼比的值这就需要依赖于理论背景的理解与多次尝试的经验累积来进行合适的设定与调整最后检查模型的假设和前提是否符合实际情况检查模型的残差是否存在明显的模式是否过于依赖某些特定的输入变量以及模型中的非线性和交互项是否恰当这可以帮助我们更好地理解模型的局限性和可能的改进方向由于您正在使用非线性最小二乘法进行拟合这是一个相当复杂的过程并且对于非线性模型的复杂性可能存在一些问题因此我们必须保持警惕并进行详细的检查以确保我们的模型是正确的并且符合我们的数据特征因此我们必须仔细审查我们的模型假设以确保它们符合我们的数据和实际情况在尝试使用非线性最小二乘法进行拟合之前我们可以先进行一些线性分析作为对比验证同时我们也需要注意一些关键的点例如对参数的物理含义有深入的理解并合理设定参数范围避免出现无法解释的物理现象的出现尽量将数学工具和物理实际紧密结合解决问题在这种情况下仔细审查模型假设和数据质量可能是解决问题的关键同时请尝试使用一些统计测试方法来验证模型的稳定性和预测性能保证预测结果具有实际应用价值和使用性这样可以进一步保证最终的阻尼比结果的准确性与稳定性在这里需要考虑的一些关键因素包括对参数化模型和预测值准确性的综合考虑针对实际实验条件下阻尼识别的关键问题需要从不同的角度去分析和解决可能涉及到模型选择数据处理以及算法优化等多个方面需要综合考虑各种因素来寻找最佳的解决方案在模型选择和数据处理过程中应充分考虑到数据的质量和模型的适用性并采取相应的措施来优化模型以提高阻尼识别的准确性在算法优化方面可能需要针对特定的数据和问题特性对算法进行针对性的调整以提高模型的拟合精度和效率在实际操作中可以尝试使用更复杂的模型更精细的数据处理方法以及更先进的算法来解决阻尼识别问题总之对于你的问题可能需要从数据处理模型选择和算法优化等多个角度进行综合考虑和尝试才能找到最佳的解决方案针对你的问题我建议从以下几个方面入手解决问题一是改进数据处理步骤尝试不同的滤波去噪等技术提高数据质量二是检查模型假设是否符合实际情况并尝试不同的模型选择三是优化算法包括初始参数设置和算法参数调整等方面来更好地解决问题特别是重点关注雅可比矩阵的问题是否能够通过一些数值处理策略解决病态矩阵带来的问题针对病态雅可比矩阵的问题可能需要通过改变算法的数值稳定性和鲁棒性来解决你可以尝试以下解决方案中的一种或几种来改善问题在对数据和背景进行全面审查之后你可能会发现可以使用其他方法进行模型的更好拟合特别是在一些更复杂的数据处理中可以尝试结合不同方法的应用来改善模型的稳健性和准确性在这种情况下我会推荐使用更高级的方法来处理具有复杂特征的数据可能涉及到多个模态的组合和分析并且在这个过程中对于具有复杂特征和趋势的数据需要利用专门的软件工具进行分析以提高处理效率和准确性例如在处理大量复杂数据时可以考虑使用专门的数学软件如MATLAB进行数据处理和模型分析MATLAB提供了强大的数据处理和分析工具可以帮助你更好地处理数据和构建更准确的模型在这种情况下可能需要使用更复杂的算法来解决问题例如在处理混叠模态信号时可以考虑使用更复杂的算法例如联合分析和其他改进型的阻尼识别和估计技术联合其他科研机构的同行和研究领域的资深学者讨论研究可能存在一种或多个不同的方法来解决这个问题尽管无法确定哪一种方法是最优的但是我们可以从多方面入手综合尝试以找到最适合当前情况的方法此外考虑到不同领域的技术方法和研究视角可能存在差异我也推荐查阅更多跨学科领域的相关研究探索是否有新的技术和方法可能为解决该问题提供帮助下面我会详细列出一种可能的解决流程以供你参考并逐步排查问题1. 数据清洗与预处理确保数据的准确性和可靠性为后续分析奠定基础你可以采用去噪平滑处理等多种方式进行数据的预处理步骤以降低误差的存在可能具体处理的方法可以通过谱分析和数字信号处理等技术在MATLAB中实现相应的数据处理功能例如利用MATLAB的信号处理工具箱进行数据清洗和预处理工作确保数据质量在可接受的范围内从而有助于后续模型的建立和分析等过程如果经过清洗后的数据依然无法有效拟合可能存在其他因素影响拟合过程需要进行进一步的分析和研究寻找潜在的影响因素和解决方案第二选择合适的模型和算法是关键你可能需要根据实际数据和问题特性选择合适的模型和算法进行拟合在这个过程中你需要关注模型的假设和算法的适用性并根据实际情况进行调整和优化例如你可以通过查阅相关文献和论文了解不同的模型和算法选择最适合当前问题的模型和算法进行拟合尝试调整算法的参数和设置以提高拟合的精度和效率在这个过程中MATLAB的curve fitting工具箱可能会对你有所帮助可以方便的构建和比较不同模型进行非线性最小二乘拟合等操作同时你需要关注模型的诊断和验证确保模型的准确性和可靠性在对混叠模态信号进行分析时可以考虑使用模式识别等技术对信号进行分解以提取各个模态的信息并分别进行分析这可能会帮助你更好地理解数据特性和结构特点为解决当前问题提供帮助第三步在执行模型之前应该制定明确的流程规划和测试策略以减少错误的偶然性和误判可能你可以在执行拟合过程前设计相应的测试方案和策略例如在特定的输入下检查模型的响应是否合理分析不同模型间的差异对不同的方法进行对比分析等通过这种方法你可以更好地了解模型的性能和特点避免误判的可能对于你的研究这是一个很好的实践并且可以提高你的分析和解决问题的能力通过以上的步骤和方法你可以逐步排查问题并寻找可能的解决方案在这个过程中你可能需要不断尝试和调整策略以适应不同的情况和问题特性同时保持耐心和细心对于解决这类问题是非常有帮助的相信通过不断的努力和实践你会找到最佳的解决方案在处理复杂问题时尤其是涉及到非线性系统和噪声干扰等问题时有时候需要具备足够的知识和经验积累以及跨学科的知识储备来综合分析和解决问题希望这些建议对你有所帮助如果你还有其他问题或需要进一步的帮助请随时向我提问我会尽力为你提供帮助