完全无向图和完全有向图

Question

一个都有N个顶点完全有向图和完全无向图中，完全有向图中的A-B是一条边（A->B或B->A这两个中其中一种，也就是有向边），而完全无向图种的A-B是2条，展开就是A->B和B->A，所以说有N个顶点的完全无向图边数是有N个顶点的完全有向图边数的2倍，可是完全无向图边数公式是n(n-1)/2，完全有向图边数公式是n(n-1)，这两种图的常规边数的关系和公式导出的边数关系是矛盾的。
我知道这个观点肯定是有错误的，但是我还不太清楚正确的是怎么回事，我这个推导出的观点哪里有问题

Answer 1

该回答引用自GPT-deepseek, 由博主 GISer Liu 编写：

问题分析

用户的问题在于对完全无向图和完全有向图的边数理解上存在混淆。用户认为完全无向图的边数应该是完全有向图边数的两倍，但通过公式计算发现两者并不符合这一关系。

关键点

1. 完全无向图：每两个顶点之间都有一条边，且边是无方向的。
2. 完全有向图：每两个顶点之间都有两条有方向的边（即A->B和B->A）。
3. 边数公式：
   • 完全无向图的边数公式：( \frac{n(n-1)}{2} )
   • 完全有向图的边数公式：( n(n-1) )

解决方案

1. 理解完全无向图和完全有向图的定义

• 完全无向图：对于N个顶点，每两个顶点之间都有一条无方向的边。因此，边的总数是所有可能的顶点对数的一半，即 ( \frac{n(n-1)}{2} )。
• 完全有向图：对于N个顶点，每两个顶点之间都有两条有方向的边（A->B和B->A）。因此，边的总数是所有可能的顶点对数的两倍，即 ( n(n-1) )。

2. 验证边数公式的正确性

• 完全无向图：假设有4个顶点（A, B, C, D），边的组合有 (A-B, A-C, A-D, B-C, B-D, C-D)，共6条边，符合公式 ( \frac{4(4-1)}{2} = 6 )。
• 完全有向图：假设有4个顶点（A, B, C, D），边的组合有 (A->B, B->A, A->C, C->A, A->D, D->A, B->C, C->B, B->D, D->B, C->D, D->C)，共12条边，符合公式 ( 4(4-1) = 12 )。

3. 解释用户观点的错误

用户错误地认为完全无向图的边数应该是完全有向图边数的两倍。实际上，完全无向图的边数是 ( \frac{n(n-1)}{2} )，而完全有向图的边数是 ( n(n-1) )。这两者之间的关系并不是简单的两倍关系，而是基于图的定义和边的方向性得出的。

结论

完全无向图和完全有向图的边数公式是基于图的定义和边的方向性得出的。完全无向图的边数公式 ( \frac{n(n-1)}{2} ) 和完全有向图的边数公式 ( n(n-1) ) 是正确的，且它们之间的关系并不是简单的两倍关系。用户的问题在于对图的定义和边的方向性理解有误。

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