求密度分布均匀的抛物面z=1/2(x²+y²)(z≤2)的质心.

Question

求密度分布均匀的抛物面z=1/2(x²+y²)(z≤2)的质心.
求密度分布均匀的抛物面z=1/2(x²+y²)(z≤2)的质心.

Answer 1

本题主要考查了抛物面的质心计算。
设抛物面z=12(x2+y2)z=21​(x2+y2)（z≤2z≤2）的密度为常数ρρ，
则抛物面的质量MM为：
M=ρ∭VdxdydzM=ρ∭V​dxdydz
其中，VV是抛物面z=12(x2+y2)z=21​(x2+y2)（z≤2z≤2）与z=0z=0平面所围成的立体区域。
利用柱面坐标变换，令x=rcos⁡θx=rcosθ，y=rsin⁡θy=rsinθ，z=zz=z，则
M=ρ∫02πdθ∫02zrdr∫0zdz=ρ∫02πdθ∫02z⋅12r2⋅22zdzM=ρ∫02π​dθ∫02z
​​rdr∫0z​dz=ρ∫02π​dθ∫02
​​z⋅21​r2⋅22z
​dz
=ρ∫02πdθ∫02z2rdz=ρ∫02πdθ∫0223z52dz=ρ∫02π4215dθ=82πρ15=ρ∫02π​dθ∫02
​​z2rdz=ρ∫02π​dθ∫02
​​32​z25​dz=ρ∫02π​1542
​​dθ=1582
​πρ​
接下来，求质心的xx坐标x‾x，由于抛物面关于yOzyOz平面对称，所以x‾=0x=0。
同理，质心的yy坐标y‾y​也为0。
最后，求质心的zz坐标z‾z，
z‾=1M∭Vzdxdydz=1582πρ∫02πdθ∫02zrdr∫0zzdzz=M1​∭V​zdxdydz=82
​πρ15​∫02π​dθ∫02z
​​rdr∫0z​zdz
=1582πρ∫02πdθ∫0212z3⋅12r2⋅22zdz=1582πρ∫02πdθ∫02210z72dz=82
​πρ15​∫02π​dθ∫02
​​21​z3⋅21​r2⋅22z
​dz=82
​πρ15​∫02π​dθ∫02
​​102
​​z27​dz
=1582πρ∫02πdθ∫022235z72∣02dz=1582πρ∫02π4235dθ=37=82
​πρ15​∫02π​dθ∫02
​​3522
​​z27​∣02
​​dz=82
​πρ15​∫02π​3542
​​dθ=73​
综上，抛物面z=12(x2+y2)z=21​(x2+y2)（z≤2z≤2）的质心坐标为(0,0,37)(0,0,73​)。