随机过程随机游走迭代问题

Question

一道与随机游走有关的随机过程题目。第一小问验证迭代公式的正确性。想知道具体证明思路与过程。

Answer 1

以下回复参考：皆我百晓生、券券喵儿等免费微信小程序作答:

首先，我们来解答题目中的第一部分，即验证迭代公式的正确性。题目描述的是一个简单随机游走的过程，其中Xn是独立同分布的随机变量，且只有两个可能的结果，+1或-1。这个随机游走过程的第一时刻达到某一值（这里设为到达+1）的概率定义为h。我们的目标是证明以下递归公式：

h_n = p * h_{n-1} + q * h_{n-2} 当 n >= 2 时。其中 h_n 是首次到达值所需步数的累积分布函数，p 和 q 是随机变量 X 取正和负值的概率，满足 p + q = 1。假设 h_n 是首次到达+1的累积分布函数。这个递归公式的正确性可以通过以下步骤来证明：

第一步，我们考虑第一次跳跃时，如果随机游走的结果不是从起始点达到目标（也就是未达状态），那么这个游走在下一步首次达到目标的概率即为所有未来第一次跳跃是目标值并终止或尚未到达目标的累积分布。考虑这些步骤之间每一个未来跳的所有可能性对应的所有历史，我们就能确定我们初始事件的分布规律以及具体的数学模型和性质（例如在图中发现可拆成一部分无限退化的情况）。这就是所谓的马尔科夫链的性质。马尔科夫链的特性使得我们可以将复杂的问题简化为更简单的子问题来解决。因此，我们可以根据这个性质得出上述的递归公式。在此题中具体的解释为在任意时间点后，“游走是向上的一步到达了+1”，“从上一步不是达到而是保持在起始位置或者是新的开始的起始步已经重新更新了信息的变化”，这两者的可能性可以对应出我们给出的公式中的两个部分，分别是p * h_{n-1}和q * h_{n-2}。因此，我们可以得出上述的递归公式 h_n = p * h_{n-1} + q * h_{n-2} 的证明逻辑与过程。当然这还需要后续计算的辅助支持以及推导出的正确结果的确认验证公式本身的正确性。具体来说我们可以理解为当前到达状态是基于我们前一时刻状态向上移动以及我们下一时刻重新开始尝试的不同路径结果相加的和即最终累加分布的更新迭代计算。这样的推导基于概率统计中一些基础的定理如大数定律、独立事件的乘法原则等而使得这些随机过程的随机性质能够进行如此的表达和处理推导出来的迭代公式的真实性以及对初始设定的规律性情况的变化表现的推理模拟情况被详细确定出来的问题进行的解题论证说明而最后展示出来了最后的推导结果。对于题目中的其他部分，例如计算累积分布h以及猜测当n增大时累积分布的变化情况，可以通过编程模拟随机过程并计算概率分布来解答。这部分的计算需要依赖于具体的p值以及迭代公式的正确应用来实现结果的正确性验证与模拟预测推理结果的可靠性保证以及准确性的计算评估与理解阐述等问题进行解答和说明推理过程。希望这个解答能够帮助你理解这个问题并解答你的疑惑。