线性代数行列式 是否有简便方法？

Question

线性代数行列式，是否有简便方法？谁可以帮忙解答一下 谢谢！，。/‘；

Answer 1

以下回复参考：皆我百晓生、券券喵儿等免费微信小程序作答:

在矩阵论中，我们可以通过对角化的方法简化计算行列式的值。具体来说，如果一个矩阵可以用其特征值分解成形如(A = PDP^{-1})，其中(P)是正交变换矩阵，(D)是一个对角矩阵，那么这个过程叫做对角化。

对于题目中的例子，我们可以先通过对角化找到(A)的对角矩阵(D)：

首先，我们观察到(D)是一个对角矩阵，因为它的所有非零元素都是1（或者0），而其余元素都为0。因此，(D)就是我们所需要的(D)。

然后，我们需要找到(P)，即对角化的矩阵。由于(A)是对称矩阵，且它满足(A^T = A)，所以(P)是(A)的一个行向量的单位向量，即(P = \left[\begin{array}{c}u_1\ u_2\ \vdots\ u_n\end{array}\right])，其中(u_i)是对应于第i行的单位向量。

接下来，我们计算(A)与(D)的乘积(APD)：

• 对于第i行，(u_i^TD)表示第i行元素的对角元；
• 对于第i行，(u_i^TPD)表示第i行元素的行列式值。

因此，(APD)的结果将是每个非零元素乘以对应的单位向量的乘积之和，即：

[APD = \sum_{i=1}^{n}u_i^TDu_i]

为了进一步简化，我们可以注意到对角矩阵(D)的每一个元素都是常数，因此这些项之间没有相加的关系。这样，(APD)就变成了一个关于(u_i)的多项式，其中每一项都是(u_i)和相应的对角元的乘积。

例如，在我们的例子中，(D)是一个对角矩阵，因此每行都是一个常数列，而(u_i)也是常数列的一维向量。这意味着(APD)会是一个由常数构成的线性组合，使得最终结果只依赖于(u_i)的位置，而不依赖于具体的数值。

总结起来，当我们遇到这样的问题时，通常的第一步是进行对角化，以便更直观地理解问题。然后，我们只需考虑如何将对角化后的矩阵(D)应用到(A)上，并简化表达式。