求解下列函数的拉氏逆变换

Question

求解结果如下图，结果不就是没变吗，为什么会出现这种情况，以及该如何解答，十分感谢您的解答

Answer 1

以下回复参考：皆我百晓生、券券喵儿等免费微信小程序作答:

为了正确地解析给定的拉普拉斯反变换表达式，我们需要首先理解这些表达式的含义，并应用正确的代数技巧。让我们逐步分析每个表达式：

(1) F2(s) = 1/(s^2 - a^2)(s + b)

这个表达式表示的是一个复指数函数，其拉普拉斯反变换为：

F(t) = ∫(e^(-st) * cos(bt)) dt

这里，F(t)是原函数，e^(-st)是初值函数，cos(bt)是终值函数。

(2) F(s) = √s - a - √s - b

这是一个单指数函数，其拉普拉斯反变换为：

F(t) = e^{-at} * sin(bt)

解决方法

为了正确解决这个问题，我们可以通过将原始函数分解成几个简单的部分来进行。我们可以先将第一个表达式中的分母提取出来作为常数项，然后将其乘以1/(s^2 - a^2)，从而得到一个完全平方的形式。这样，我们就可以利用三角恒等式（余弦和正弦函数的和与差）来简化问题。

示例：简化表达式

考虑F(s) = √s - a - √s - b 的情况，我们可以将其写成：

F(s) = (√s + (-a + √s)) - (√s + (-b + √s))

这可以进一步简化为：

F(s) = 2√s - a - b

现在，我们可以看到，F(s)实际上是一个常数加上两个正根，因此它的拉普拉斯反变换将是这两个根的负幂次函数之和，即：

F(t) = 2e^{-at} * cos(bt)

对于第二个表达式，我们可以注意到它实际上是s的线性组合，其中包含了一个正根和一个负根。根据三角恒等式，我们可以写出：

F(s) = √s - a + √s - b

这同样可以简化为：

F(s) = 2√s - a - b

再次注意到，F(s)实际上是一个常数加上两个正根，所以它的拉普拉斯反变换也是这两个根的负幂次函数之和：

F(t) = 2e^{-at} * cos(bt)

通过这种方法，我们可以准确地解析并计算出每个表达式对应的拉普拉斯反变换。希望这有助于您理解和解决问题！