什么叫通过增加势的单位来支配隐藏的常数？

Question

《算法导论第三版》19.2节最后部分是对抽取最小结点的摊还分析。

如上图所示

问题1：从O(D(n)+t(H))+((D(n)+1)+2m(H))-(t(H)+2m(H))到O(D(n))+O(t(H))-t(H)的中间过程是怎样的？

问题2：从O(D(n))+O(t(H))-t(H)到O(D(n))的中间过程是怎样的？

问题3：什么叫可以增大势的单位？

问题4：增大势的单位为什么可以支配隐藏在O(t(H))中的常数？

问题5：请接地气地描述这个摊还分析的整个过程？

Answer 1

以下回复参考：皆我百晓生、券券喵儿等免费微信小程序作答:

好的，我会尝试解释你提出的所有问题。

问题1：从O(D(n)+t(H))+((D(n)+1)+2m(H))-(t(H)+2m(H))到O(D(n))+O(t(H))-t(H)的中间过程是怎样的？ 答案：这个过程主要是简化表达式的过程。首先，注意到在括号内的部分可以简化为D(n)+1，因为括号内的所有项都会相减。接着，我们可以重新组织公式来分离D(n)和t(H)，这样就得到了O(D(n)+t(H))的形式。然后，注意到从原始势中减去的部分与增加的势中的部分相抵消，于是我们得到了最终的公式O(D(n))+O(t(H))-t(H)。这一步过程主要是通过代数操作进行简化和合并同类项。

问题2：从O(D(n))+O(t(H))-t(H)到O(D(n))的中间过程是怎样的？ 答案：这一步是从更大的公式中提取出主要的部分。我们知道在摊还分析中，常数项通常可以忽略不计，因为它们不会随着输入规模的增长而增长。因此，我们可以忽略掉-t(H)这一项，因为它相对于其他项来说是一个常数项，于是我们得到了最终的公式O(D(n))。

问题3：什么叫可以增大势的单位？ 答案：“增大势的单位”是指在算法分析过程中，我们可以通过增加某种形式的“势能”来分摊算法操作的代价。在这个例子中，势能是通过增加节点数量或者调整数据结构来实现的。通过这种方式，我们可以使每个操作的平均成本保持在一定的范围内，即使在最坏的情况下也是如此。这就是所谓的摊还分析的核心思想。

问题4：增大势的单位为什么可以支配隐藏在O(t(H))中的常数？ 答案：增大势的单位可以支配隐藏在O(t(H))中的常数是因为我们可以通过调整势的大小来分摊算法操作的代价。在这个过程中，我们可以将算法操作的代价分配到多个操作中，从而使得每个操作的平均代价保持在一个可接受的范围内。常数项通常在这种分析中会被忽略，因为它们不会随着输入规模的增长而增长。因此，我们可以通过增加势的单位来掩盖或者“支配”这些常数项。

问题5：请接地气地描述这个摊还分析的整个过程？ 答案：摊还分析是一种用来分析算法性能的技术，尤其适用于那些在最坏情况下性能很差的算法。在这个过程中，我们首先估算出算法操作的代价（包括固定代价和可变代价）。然后，我们创建一个“势能”的概念来代表算法的额外能力或资源，这个势能可以抵消一些操作的代价。我们逐渐增加这个势能的大小，直到它能覆盖所有的操作代价。通过这种方式，我们可以保证算法的总体性能在可接受范围内，即使在最坏的情况下也是如此。这个过程涉及到代数操作、对常数项的忽略以及对势能的理解和应用。在这个例子中，我们通过对势的调整和增加来分摊抽取最小节点的操作代价，从而使得整个算法的摊还代价保持在一个较低的水平。