求解，高等数学上，可不可以讲一下思路

Question

题目如图，提示没看懂，网上搜不到，所以来问一下，能不能讲一下详细解题思路与方法，题目内容为求极限，高等数学上册

Answer 1

AIGC生成：

根据您提供的图片内容，题目要求求解一个极限问题。题目中的极限表达式是：

[ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}}\frac{\sqrt[4]{1+2 x}}{\sqrt[4]{1-2 x}}\cdot\sqrt[6]{1-3 x}\ldots.2n\frac{\sqrt[4]{1+n x}}{\sqrt[4]{1-n x}}-1 ]

这个极限表达式可以简化为：

[ \lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sqrt[4]{1+2 x}}{\sqrt[4]{1-2 x}}\cdot\sqrt[6]{1-3 x}\ldots.2n\frac{\sqrt[4]{1+n x}}{\sqrt[4]{1-n x}}\right)-1 ]

解题思路如下：

1. 简化表达式：首先，注意到分子和分母中的 (\sqrt{1-x}) 可以相互抵消，因此表达式简化为：

[ \lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sqrt[4]{1+2 x}}{\sqrt[4]{1-2 x}}\cdot\sqrt[6]{1-3 x}\ldots.2n\frac{\sqrt[4]{1+n x}}{\sqrt[4]{1-n x}}\right)-1 ]

1. 使用泰勒展开：对于每一项 (\frac{\sqrt[k]{1+ax}}{\sqrt[k]{1-ax}})，其中 (k) 是偶数，(a) 是系数，我们可以利用泰勒展开来近似。当 (x) 接近 0 时，(\sqrt[k]{1+ax} \approx 1 + \frac{ax}{k})，因此：

[ \frac{\sqrt[k]{1+ax}}{\sqrt[k]{1-ax}} \approx \frac{1 + \frac{ax}{k}}{1 - \frac{ax}{k}} \approx 1 + \frac{2ax}{k} ]

1. 代入并简化：将上述近似代入原极限表达式，我们得到：

[ \lim_{x\rightarrow 0}\left(1 + \frac{4x}{4} \cdot 1 + \frac{6x}{6} \cdot 1 + \ldots + \frac{2nx}{4}\right) - 1 = \lim_{x\rightarrow 0}\left(1 + x + x + \ldots + x\right) - 1 = \lim_{x\rightarrow 0}nx - 1 = 0 ]

1. 计算极限：由于每一项的极限都是 1，整个表达式的极限是 (n) 个 1 的乘积减去 1，即 (n - 1)。

2. 最终答案：根据题目提示，最终答案应该是 (\frac{n!}{3\pi})。这表明在解题过程中可能需要使用一些高级技巧或者特殊函数来得到这个结果。但是，根据题目的提示和简化的步骤，我们可以得到一个近似的结果。

由于题目中的提示和解题步骤可能涉及到更高级的数学技巧，这里提供的是一个基于泰勒展开的简化解题思路。实际的解题过程可能需要更详细的分析和数学工具。