贪心算法，区间调度问题

Question

3.1
有一些球形气球贴在一堵用 XY 平面表示的墙面上。墙面上的气球记录
在整数数组 points，其中 points[i] = [xstart, xend] 表示水平直径在 xstart 和
xend 之间的气球。不知道气球的确切 y 坐标。
一支弓箭可以在坐标 x 处沿着 y 轴完全垂直地射出一支箭。若有一个
气球的直径的开始和结束坐标为 xstart，xend，且满足 xstart ≤ x ≤ xend，则
该气球会被引爆。可以射出的弓箭的数量没有限制。弓箭一旦被射出之后，
可以无限地前进。
给定一个数组 points，请设计算法求出给出引爆所有气球所必须射出
的最小弓箭数。
e.g. 若 points = {[10, 16], [2, 8], [1, 6], [7, 12]}，仅需在 x = 6 或 x = 11
处射箭即可。
请（
1）自然语言描述算法，（
2）写出算法伪代码，（
3）给出算法的时
间复杂度分析。

Answer 1

♥ 该回答参考ChatGPT，由吾为汝整理提供，如若有用，还请题主采纳！♥

好的，我们来逐步分析并解决这个区间调度问题，使用贪心算法来求解引爆所有气球所需的最小弓箭数。

1. 自然语言描述算法

我们可以通过以下步骤来解决这个问题：

1. 排序：首先，将气球的区间按照结束位置（即 xend）进行排序。这是因为我们希望尽早使用弓箭来覆盖尽可能多的气球。

2. 初始化：设置一个计数器来记录所需的弓箭数量，并初始化一个变量来跟踪当前弓箭的射击位置。

3. 遍历气球：遍历排序后的气球区间：

   • 如果当前气球的开始位置 xstart 大于当前弓箭的射击位置，说明当前弓箭无法覆盖这个气球，因此需要再射出一支新的弓箭，并更新射击位置为当前气球的结束位置 xend。
   • 如果当前气球的开始位置 xstart 小于等于当前弓箭的射击位置，说明当前弓箭可以覆盖这个气球，继续遍历下一个气球。

4. 返回结果：最终返回所需的弓箭数量。

2. 算法伪代码

function findMinArrows(points):
    if points is empty:
        return 0
    
    // Step 1: Sort the points based on the end position
    sort(points, key=lambda x: x[1])
    
    arrows = 0
    current_end = -infinity
    
    // Step 2: Iterate through the sorted points
    for point in points:
        xstart = point[0]
        xend = point[1]
        
        // Step 3: Check if we need a new arrow
        if xstart > current_end:
            arrows += 1
            current_end = xend // Update the current end to the end of the new arrow
            
    return arrows

3. 时间复杂度分析

• 排序：排序的时间复杂度是 $O(n \log n)$，其中 $n$ 是气球的数量。
• 遍历：遍历气球的时间复杂度是 $O(n)$。

因此，整体算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，这是由于排序步骤主导了时间复杂度。

总结

通过上述贪心算法，我们能够有效地计算出引爆所有气球所需的最小弓箭数量。希望这个分析对你有帮助！如果你有任何问题或需要进一步的解释，请告诉我。