一个CSP的动态规划设计题

Question

在一个二维平面内，给定n个整数点(xi, yi)，此外还可以自由添加k个整数点。在自由添加k个点后，需要从n＋k个点中选出若干个整数点并组成一个序列，使得该序列中任意相邻两点间的曼哈顿距离恰好为1，而且横坐标、纵坐标值均单调不减，即xi+1-xi= 1,yi+1=yi或yi+1-yi=1, xi+1=xi。
输入：第一行两个正整数n, k，分别表示给定的整数点个数、可自由添加的整数点个数。
接下来n行，第i行两个正整数xi,yi表示给定的第i个点的横、纵坐标值。
输出：一个整数，表示满足要求的序列的最大长度。
以下程序使用动态规划方法，用C++编程，计算满足要求的序列的最大长度
已知dp[i][j]表示在前i个点添加j个点后，能选出的序列的最大长度
请对20-27行程序的功能进行分析，其中20行的循环的作用，24行状态转移方程的含义
1.int n, k;
2.int x[10], y[10];
3.int dp[10][10];
4.int main(){
5. cin >> n >> k;
6. for (int i = 1; i <= n; i++)
7. cin >> x[i] >> y[i];
8. for (int i = 1; i <= n; i++) {
9. for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
10. if (x[i] > x[j] || (x[i] == x[j] && y[i] > y[j])) {
11. swap(x[i], x[j]);
12. swap(y[i], y[j]);
13. }
14. }
15. }
16. int ans = 0, t;
17. for (int i = 1; i <= n; i++) {
18. for (int j = 0; j <= k; j++) {
19. dp[i][j] = 1;
20. for (int s = 1; s < i; s++) {
21． if (y[s] > y[i]) continue;
22. t = x[i] - x[s] + y[i] - y[s] - 1;
23. if (j >= t) {
24. dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[s][j - t] + 1);
25. }
26. }
27. ans = max(ans, dp[i][j]);
28. }
29. }
30. cout << ans + k << endl;
31. return 0;
32.}

Answer 1

♥ 该回答参考ChatGPT，由吾为汝整理提供，如若有用，还请题主采纳！♥

在这段 C++ 代码中，动态规划的核心思想是通过状态转移来计算满足条件的最大序列长度。我们来逐行分析第20到27行的功能。

第20行循环的作用

for (int s = 1; s < i; s++) {

这一行的循环遍历所有在当前点 i 之前的点 s。目的是为了检查在添加了 j 个点的情况下，是否可以将点 i 加入到以点 s 为结尾的序列中。通过这种方式，我们可以构建一个以 i 结尾的序列，并尝试从之前的点 s 扩展这个序列。

第24行状态转移方程的含义

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[s][j - t] + 1);

这一行是动态规划的状态转移方程。它的含义如下：

• dp[i][j] 表示在前 i 个点中，添加了 j 个点后，能够形成的最大序列长度。
• dp[s][j - t] 表示在前 s 个点中，添加了 j - t 个点后，能够形成的最大序列长度。这里的 t 是从点 s 到点 i 之间需要添加的点的数量，计算方式为 t = x[i] - x[s] + y[i] - y[s] - 1。这个公式计算了在横坐标和纵坐标上需要填充的点数。
• + 1 表示将点 i 加入到以点 s 为结尾的序列中，因此序列长度增加了 1。

综上所述，这一行的作用是更新 dp[i][j] 的值，确保它是通过将点 i 加入到以点 s 为结尾的序列后，所能得到的最大长度。

总结

通过这段代码，程序能够有效地计算出在给定的点中，经过添加 k 个点后，能够形成的最大满足条件的序列长度。动态规划的状态转移方程通过考虑之前的点和需要添加的点数，确保了序列的构建是有效的。