将单位球面用一张双 2 次有理 Bezier 曲面来表示，并绘制出来。 用matlab程序

Question

将单位球面用一张双 2 次有理 Bezier 曲面来表示，并绘制出来。 用matlab程序

Answer 1

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1. 理论基础
   • 对于双二次有理Bezier曲面，其表达式为：
     $$\mathbf{S}(u,v)=\frac{\sum_{i = 0}^{2}\sum_{j = 0}^{2}w_{ij}\mathbf{P}{ij}B{i,2}(u)B_{j,2}(v)}{\sum_{i = 0}^{2}\sum_{j = 0}^{2}w_{ij}B_{i,2}(u)B_{j,2}(v)}$$
   • 其中$B_{i,2}(u)=\binom{2}{i}u^{i}(1 - u)^{2 - i}$，$i = 0,1,2$；$B_{j,2}(v)=\binom{2}{j}v^{j}(1 - v)^{2 - j}$，$j = 0,1,2$；$\mathbf{P}{ij}$是控制顶点，$w{ij}$是对应的权因子。
   • 对于单位球面，我们可以选择合适的控制顶点和权因子来表示。
2. Matlab代码实现

% 定义双二次有理Bezier曲面的控制顶点和权因子
P = [0 0 1; 0 1 0; 0 0 - 1; 1 0 0; 0 0 0; - 1 0 0; 0 - 1 0; 0 0 - 1; 0 0 1];
w = [1 1 1; 1 1 1; 1 1 1];

% 生成u和v方向的参数值
u = linspace(0,1,20);
v = linspace(0,1,20);

% 计算双二次有理Bezier曲面的坐标
X = zeros(length(u),length(v));
Y = zeros(length(u),length(v));
Z = zeros(length(u),length(v));
for i = 1:length(u)
    for j = 1:length(v)
        num = 0;
        den = 0;
        for ii = 0:2
            for jj = 0:2
                index=(ii + 1)+(jj)*3;
                Bernstein_u = nchoosek(2,ii)*u(i)^ii*(1 - u(i))^(2 - ii);
                Bernstein_v = nchoosek(2,jj)*v(j)^jj*(1 - v(j))^(2 - jj);
                num = num+w(ii + 1,jj + 1)*P(index,:)*Bernstein_u*Bernstein_v;
                den = den+w(ii + 1,jj + 1)*Bernstein_u*Bernstein_v;
            end
        end
        X(i,j)=num(1)/den;
        Y(i,j)=num(2)/den;
        Z(i,j)=num(3)/den;
    end
end

% 绘制曲面
surf(X,Y,Z);
axis equal;

在上述代码中：

• 首先定义了双二次有理Bezier曲面的控制顶点P和权因子w。
• 然后生成u和v方向的参数值。
• 通过嵌套循环计算双二次有理Bezier曲面在每个(u,v)参数点处的坐标X、Y和Z。
• 最后使用surf函数绘制出曲面，并通过axis equal设置坐标轴比例相等以正确显示球面形状。