关于#matlab#的问题：描述LTI离散系统的差分方程如下，请编程并绘出该系统在0~50单位时间范围内单位脉冲响应和单位阶跃响应图

Question

描述LTI离散系统的差分方程如下，请编程并绘出该系统在0~50单位时间范围内单位脉冲响应和单位阶跃响应图。
3y(k)- 4y(k- 1)+y(k- 2) =f(k)

Answer 1

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1. 首先将差分方程转换为系统函数：
   • 对给定的差分方程$3y(k) - 4y(k - 1)+y(k - 2)=f(k)$，两边取$z$变换，设$Y(z)$是$y(k)$的$z$变换，$F(z)$是$f(k)$的$z$变换。
   • 得到$3Y(z)-4z^{-1}Y(z)+z^{-2}Y(z)=F(z)$。
   • 则系统函数$H(z)=\frac{Y(z)}{F(z)}=\frac{1}{3 - 4z^{-1}+z^{-2}}=\frac{z^{2}}{3z^{2}-4z + 1}$。
2. 然后求单位脉冲响应：
   • 在Matlab中，单位脉冲序列$\delta(k)$的$z$变换$F(z)=1$，单位脉冲响应$h(k)=IZT[H(z)]$。
   • 以下是Matlab代码实现：

     % 定义分子和分母多项式系数
     num = [1,0,0];
     den = [3, - 4,1];
     n = 0:50;
     % 计算单位脉冲响应
     impulse_response = impz(num, den, n);
     % 绘制单位脉冲响应
     subplot(2,1,1);
     stem(n, impulse_response);
     title('单位脉冲响应');
     xlabel('时间序号k');
     ylabel('幅度');
     

3. 接着求单位阶跃响应：
   • 单位阶跃序列$u(k)$的$z$变换$F(z)=\frac{z}{z - 1}$，单位阶跃响应$y(k)=IZT[H(z)\frac{z}{z - 1}]$。
   • 在Matlab中，可以使用filter函数来计算单位阶跃响应。首先创建单位阶跃输入序列，然后使用filter函数进行滤波得到输出。
   • 以下是Matlab代码实现：

     % 创建单位阶跃输入序列
     u = ones(1,51);
     % 计算单位阶跃响应
     step_response = filter(num, den, u);
     % 绘制单位阶跃响应
     subplot(2,1,2);
     stem(0:50, step_response);
     title('单位阶跃响应');
     xlabel('时间序号k');
     ylabel('幅度');
     

完整的Matlab代码如下：

% 定义分子和分母多项式系数
num = [1,0,0];
den = [3, - 4,1];
n = 0:50;
% 计算单位脉冲响应
impulse_response = impz(num, den, n);
% 绘制单位脉冲响应
subplot(2,1,1);
stem(n, impulse_response);
title('单位脉冲响应');
xlabel('时间序号k');
ylabel('幅度');
% 创建单位阶跃输入序列
u = ones(1,51);
% 计算单位阶跃响应
step_response = filter(num, den, u);
% 绘制单位阶跃响应
subplot(2,1,2);
stem(0:50, step_response);
title('单位阶跃响应');
xlabel('时间序号k');
ylabel('幅度');

运行上述代码，即可得到该系统在$0\sim50$单位时间范围内的单位脉冲响应和单位阶跃响应图。