求解两道机械原理题，关于压力角，齿顶高系数，顶隙系数，齿数关系，啮合角，节圆半径

Question

求解两道机械原理题，关于压力角，齿顶高系数
1、 当a=20∘,hn∗=1,c∗=0.25的渐开线标准外齿轮的齿根圆和基圆重合时，其齿数应为多少?当齿数大于所求出的数值时，基圆与齿根圆哪个大，为什?
2、 当a=20∘,hn∗=1,c∗=0.25的渐开线标准外齿轮的齿根圆和基圆重合时，其齿数应为多少?当齿数大于所求出的数值时，基圆与齿根圆哪个大，为什?
一对渐开线外啮合直齿圆柱齿轮机构，两轮的分度圆半径分别为₁₂r₁=30mm,r₂=54mm,α=20°,试求：
(1)当中心距a′=86mm时，啮合角α′等于多少?两个齿轮的节圆半径₁r₁′和₂r₂′各为多少?
(2)当中心距改变为a′=87mm时，啮合角α′和节圆半径
₁₂r₁′,r₂′又各等于多少?

Answer 1

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### 问题解答

1. 渐开线标准外齿轮的齿根圆和基圆重合时的齿数

已知条件： - 压力角 ( \alpha = 20^\circ ) - 齿顶高系数 ( h_n^* = 1 ) - 顶隙系数 ( c^* = 0.25 )

公式： - 齿根圆半径 ( r_f = r - (h_n^* + c^*) m ) - 基圆半径 ( r_b = r \cos(\alpha) )

其中，( r ) 是分度圆半径，( m ) 是模数。

当齿根圆和基圆重合时： [ r_f = r_b ] [ r - (h_n^* + c^*) m = r \cos(\alpha) ]

代入已知条件： [ r - (1 + 0.25) m = r \cos(20^\circ) ] [ r - 1.25 m = r \cos(20^\circ) ]

分度圆半径 ( r ) 可以表示为： [ r = \frac{m z}{2} ]

代入上式： [ \frac{m z}{2} - 1.25 m = \frac{m z}{2} \cos(20^\circ) ] [ \frac{z}{2} - 1.25 = \frac{z}{2} \cos(20^\circ) ]

解这个方程： [ \frac{z}{2} - \frac{z}{2} \cos(20^\circ) = 1.25 ] [ \frac{z}{2} (1 - \cos(20^\circ)) = 1.25 ] [ z (1 - \cos(20^\circ)) = 2.5 ] [ z = \frac{2.5}{1 - \cos(20^\circ)} ]

计算 ( \cos(20^\circ) )： [ \cos(20^\circ) \approx 0.9397 ]

代入： [ z = \frac{2.5}{1 - 0.9397} ] [ z \approx \frac{2.5}{0.0603} ] [ z \approx 41.44 ]

因此，齿数 ( z ) 应为 42（取整）。

当齿数大于 42 时： - 分度圆半径 ( r ) 增大。 - 齿根圆半径 ( r_f ) 也增大。 - 基圆半径 ( r_b ) 保持不变。

因此，当齿数大于 42 时，基圆半径小于齿根圆半径。

2. 渐开线外啮合直齿圆柱齿轮机构

已知条件： - 分度圆半径 ( r_1 = 30 \text{ mm} ) - 分度圆半径 ( r_2 = 54 \text{ mm} ) - 压力角 ( \alpha = 20^\circ )

公式： - 中心距 ( a' = r_1' + r_2' ) - 啮合角 ( \alpha' ) 满足： [ \cos(\alpha') = \frac{\cos(\alpha)}{\frac{a'}{a}} ] - 节圆半径 ( r_1' ) 和 ( r_2' ) 满足： [ r_1' = \frac{r_1 a'}{a} ] [ r_2' = \frac{r_2 a'}{a} ]

其中，标准中心距 ( a = r_1 + r_2 )。

标准中心距： [ a = 30 + 54 = 84 \text{ mm} ]

当中心距 ( a' = 86 \text{ mm} ) 时：

1. 啮合角 ( \alpha' )： [ \cos(\alpha') = \frac{\cos(20^\circ)}{\frac{86}{84}} ] [ \cos(\alpha') = \frac{0.9397}{1.0238} ] [ \cos(\alpha') \approx 0.918 ] [ \alpha' \approx \cos^{-1}(0.918) ] [ \alpha' \approx 23.3^\circ ]

2. 节圆半径 ( r_1' ) 和 ( r_2' )： [ r_1' = \frac{30 \times 86}{84} \approx 30.71 \text{ mm} ] [ r_2' = \frac{54 \times 86}{84} \approx 55.29 \text{ mm} ]

当中心距 ( a' = 87 \text{ mm} ) 时：

1. 啮合角 ( \alpha' )： [ \cos(\alpha') = \frac{\cos(20^\circ)}{\frac{87}{84}} ] [ \cos(\alpha') = \frac{0.9397}{1.0357} ] [ \cos(\alpha') \approx 0.907 ] [ \alpha' \approx \cos^{-1}(0.907) ] [ \alpha' \approx 25.0^\circ ]

2. 节圆半径 ( r_1' ) 和 ( r_2' )： [ r_1' = \frac{30 \times 87}{84} \approx 30.95 \text{ mm} ] [ r_2' = \frac{54 \times 87}{84} \approx 55.55 \text{ mm} ]

总结

1. 当齿根圆和基圆重合时，齿数 ( z ) 应为 42。当齿数大于 42 时，基圆半径小于齿根圆半径。
2. 当中心距 ( a' = 86 \text{ mm} ) 时，啮合角 ( \alpha' \approx 23.3^\circ )，节圆半径 ( r_1' \approx 30.71 \text{ mm} )，( r_2' \approx 55.29 \text{ mm} )。
3. 当中心距 ( a' = 87 \text{ mm} ) 时，啮合角 ( \alpha' \approx 25.0^\circ )，节圆半径 ( r_1' \approx 30.95 \text{ mm} )，( r_2' \approx 55.55 \text{ mm} )。