一道英文材料力学题 求解！（相关搜索：材料力学）

Question

Eccentric compression.A short beam of rectangular cross-sectionbh=69cm,made of cast iron (σᵤ,t =150MPa,σᵤc=450MPa),isloaded with a compressive force F =100kN,directed parallel to itsgeometric axis and applied to the pole P(m=1cm;n=1.5cm).Performa verification calculation.Determine the permissible load on the beam.Compare the stresses arising under eccentric and axial loading.Constructthe coreofthecross-section

Answer 1

♥ 该回答参考ChatGPT，由吾为汝整理提供，如若有用，还请题主采纳！♥

要解决这个材料力学问题，我们需要进行几个步骤，包括计算允许载荷、比较偏心和轴向载荷下的应力，以及构建截面的核心。以下是详细的步骤和计算。

1. 给定数据

• 矩形截面尺寸：宽度 ( b = 69 , \text{cm} = 0.69 , \text{m} )
• 厚度 ( h = 69 , \text{cm} = 0.69 , \text{m} )（假设宽度和厚度相同）
• 抗拉强度 ( \sigma_u = 150 , \text{MPa} )
• 抗压强度 ( \sigma_{uc} = 450 , \text{MPa} )
• 施加的压缩力 ( F = 100 , \text{kN} = 100,000 , \text{N} )
• 偏心距 ( m = 1 , \text{cm} = 0.01 , \text{m} )
• 偏心距 ( n = 1.5 , \text{cm} = 0.015 , \text{m} )

2. 计算截面几何属性

• 截面面积 ( A = b \cdot h = 0.69 , \text{m} \cdot 0.69 , \text{m} = 0.4761 , \text{m}^2 )
• 截面的惯性矩 ( I )：
  [
  I = \frac{b h^3}{12} = \frac{0.69 \cdot (0.69)^3}{12} = 0.0170 , \text{m}^4
  ]

3. 计算偏心载荷下的应力

偏心载荷会导致弯曲应力和轴向应力的组合。首先计算轴向应力：

[
\sigma_a = \frac{F}{A} = \frac{100,000 , \text{N}}{0.4761 , \text{m}^2} \approx 209,000 , \text{Pa} = 209 , \text{MPa}
]

接下来计算弯曲应力：

[
\sigma_b = \frac{M \cdot c}{I}
]

其中 ( M ) 是弯矩，( c ) 是截面到中性轴的距离。对于矩形截面，( c = \frac{h}{2} = 0.345 , \text{m} )。

弯矩 ( M ) 由偏心力产生：

[
M = F \cdot e = 100,000 , \text{N} \cdot 0.01 , \text{m} = 1,000 , \text{N·m}
]

因此，弯曲应力为：

[
\sigma_b = \frac{1,000 , \text{N·m} \cdot 0.345 , \text{m}}{0.0170 , \text{m}^4} \approx 20,294 , \text{Pa} = 20.3 , \text{MPa}
]

4. 总应力计算

总应力为轴向应力和弯曲应力之和：

[
\sigma_{total} = \sigma_a + \sigma_b = 209 , \text{MPa} + 20.3 , \text{MPa} \approx 229.3 , \text{MPa}
]

5. 允许载荷计算

根据材料的抗压强度，计算允许载荷：

[
F_{allowed} = \sigma_{uc} \cdot A = 450 , \text{MPa} \cdot 0.4761 , \text{m}^2 \approx 214,245 , \text{N} \approx 214.2 , \text{kN}
]

6. 比较应力

• 偏心载荷下的总应力 ( \sigma_{total} \approx 229.3 , \text{MPa} )
• 轴向载荷下的应力 ( \sigma_a \approx 209 , \text{MPa} )

7. 构建截面的核心

核心是指在该区域内施加的力不会导致弯曲。对于矩形截面，核心的宽度和高度可以通过以下公式计算：

• 核心宽度 ( b_{core} = \frac{b}{2} )
• 核心高度 ( h_{core} = \frac{h}{2} )

结论

• 允许载荷为 ( 214.2 , \text{kN} )。
• 偏心载荷下的总应力为 ( 229.3 , \text{MPa} )，高于轴向载荷下的应力 ( 209 , \text{MPa} )。
• 核心的尺寸为 ( b_{core} = 0.345 , \text{m} ) 和 ( h_{core} = 0.345 , \text{m} )。

希望这个解答能够帮助你理解这个材料力学问题！如果有其他问题，请随时问我。