需要求解含有500多个变量的非线性方程组，请问有什么相对而言快速的方法吗？有的话可以提供参考MATLAB代码吗？

Question

我现在遇到的问题，是对含有三个方程的偏微分方程组进行数值求解，通过广义有限差分法（Generalized Finite Difference Method，核心知识是对每个待求点进行泰勒展开，通过最小二乘法得到每个点的偏导数用自身以及临近几个点的加权和来表示的近似值）进行离散化后的结果如图1所示（本人的过程见图2-4），离散化后得到的，是含有564个未知量的非线性方程组（“Σ”那一堆代表求出的e矩阵的特定一行与待求变量的列向量的内积，e的第一行对应一阶偏导，e的第二行对应二阶偏导，列向量里的元素代表每个方程对应的点以及距离这个点最近的10个点这11个点各自的待求量），我尝试参照我手头上的教材里的牛顿迭代法例题代码（见图5、图6），对我得到的非线性方程组进行编程求解（我的代码与初始条件来源文件见附件），结果提示了报错（见图7），而且光凭求Jacobi矩阵就花了一个小时左右，整个程序跑下来花了好几个小时还是报错的结果，请问我的问题出在哪？针对我的方程组有什么更为快速的适用的数值方法求解呢？如果有，能否提供下参考MATLAB代码以及学习资料？感谢各位。
（我第一次提问，代码提示要“放入代码片中”，我是MATLAB代码，但我“插入代码块”里找不到“MATLAB”，因此代码我只能以图片的形式放出了，见图8-10，带来不便见谅，提问模块里我也找不到上传附件的地方，代码中ncdisp插入的文件我可以到时候私发）

Answer 1

本答案参考 多次询问 ChatGPT-3.5 后选择的最佳回答，若是满意，还请采纳，谢谢🌟🌟🌟

针对您的问题，解决含有500多个变量的非线性方程组，可以考虑以下几种相对快速的方法：

1. fsolve函数：MATLAB中的fsolve函数是专门用于求解非线性方程组的，它基于拟牛顿法，能够处理具有多个变量的复杂系统。以下是一个简单的fsolve使用示例：

% 定义非线性方程组函数
fun = @(x) [x(1)^2 + x(2) - 11; x(1) + x(2)^2 - 7];
% 初始猜测值
x0 = [0, 0];
% 调用fsolve求解
[x, fval, exitflag] = fsolve(fun, x0);

1. 迭代法：对于大规模稀疏矩阵的线性方程组，迭代法通常比直接法更高效。例如，可以使用预处理共轭梯度法（pcg）。以下是一个使用pcg求解器的代码示例：

% 假设A是稀疏矩阵，b是常数项向量
% 创建预处理矩阵M
M = ichol(A, struct('type','ict'));
% 设置容许误差和最大迭代次数
tol = 1e-6;
maxit = 100;
% 调用pcg函数求解
[x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A, b, tol, maxit, M);

1. 广义有限差分法：这是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程或微分方程边值问题。在MATLAB中实现广义有限差分方法的步骤包括网格生成、数值逼近、线性方程组构建和方程求解。

2. 牛顿迭代法：这是一种利用函数的导数信息来逼近方程组根的迭代求解法。其基本原理是利用函数的一阶导数（雅可比矩阵）和二阶导数（黑塞矩阵）来逼近方程组的根。

针对您的特定问题，建议您首先尝试使用fsolve函数，因为它适用于多变量非线性方程组的求解，且在MATLAB中使用相对简便。如果方程组特别大或者有特殊的结构特征，可以考虑使用迭代法或其他方法。希望这些方法和代码示例能够帮助您解决问题。