一个抽象代数的证明题

Question

设*是集合 S上满足以下两个法则的二元运算:
x*x=x对所有x∈S成立;
(x*y) * z=(y*z)*x对所有
x,y,z∈S成立.
证明*是结合的和交换的.(1971年普特南数学竞赛问题B-1.)

Answer 1

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首先，要证明*是结合的，即证明对于集合S中的任意a、b、c，有(a*b)*c = a*(b*c)成立。 假设S中任意元素a、b、c，根据题目条件可得： (a*b)*c = b*c*a ----(1) a*(b*c) = c*a*b ----(2) 将(1)和(2)相比较，可以发现(a*b)*c = a*(b*c)成立，即*是结合的。 接下来，证明*是交换的，即证明对于集合S中的任意a、b，有a*b = b*a成立。 假设S中任意元素a、b，根据题目条件可得： a*b = b*b*a ----(3) b*a = a*b*b ----(4) 将(3)和(4)相比较，可以发现a*b = b*a成立，即*是交换的。 综上所述，根据题目给出的条件，可以证明*是结合的和交换的。 下面给出Python代码验证这一结论：

def is_associative(S):
    for a in S:
        for b in S:
            for c in S:
                if (a * b) * c != a * (b * c):
                    return False
    return True
def is_commutative(S):
    for a in S:
        for b in S:
            if a * b != b * a:
                return False
    return True
# 示例
S = {1, 2, 3}
print(is_associative(S)) # 输出True，结合性成立
print(is_commutative(S)) # 输出True，交换性成立