MATLAB代码实现矩阵householderQR分解

Question

二和图三是根据老/师给的思路写的代码，本人对MATLAB一窍不通，问了好几个ai运行结果都不对，结果应该要Err约等于零，真的不会改代码。
为什么结果的数那么大呢？

Answer 1

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Householder QR分解是一种常用的矩阵分解方法，用于将矩阵 ( A ) 分解为一个正交矩阵 ( Q ) 和一个上三角矩阵 ( R )。你提到的问题是关于MATLAB代码实现Householder QR分解，并且运行结果不正确，导致误差（Err）非常大。

问题分析

1. 代码实现问题：你提到代码是根据老师给的思路写的，但运行结果不正确。可能的原因包括：

   • Householder变换的实现有误。
   • 矩阵更新过程中出现了错误。
   • 计算误差累积导致结果不准确。

2. 误差分析：你提到结果应该要 Err 约等于零，但实际结果非常大。这表明分解后的 ( Q ) 和 ( R ) 与原始矩阵 ( A ) 的乘积不匹配。

解决方案

为了帮助你解决问题，我将提供一个标准的Householder QR分解的MATLAB代码实现，并解释每一步的操作。

Householder QR分解的MATLAB代码

function [Q, R] = householderQR(A)
    [m, n] = size(A);
    Q = eye(m); % 初始化Q为单位矩阵
    R = A;      % 初始化R为A

    for k = 1:n
        % 选取当前列的下部分
        x = R(k:m, k);
        
        % 计算Householder向量
        e1 = zeros(length(x), 1);
        e1(1) = 1;
        v = sign(x(1)) * norm(x) * e1 + x;
        v = v / norm(v);
        
        % 应用Householder变换
        H = eye(m);
        H(k:m, k:m) = H(k:m, k:m) - 2 * (v * v');
        
        % 更新R和Q
        R = H * R;
        Q = Q * H';
    end
end

测试代码

A = [12, -51, 4; 6, 167, -68; -4, 24, -41]; % 示例矩阵
[Q, R] = householderQR(A);

% 计算误差
Err = norm(Q * R - A);
disp('Q:');
disp(Q);
disp('R:');
disp(R);
disp(['Error: ', num2str(Err)]);

代码解释

1. 初始化：

   • Q 初始化为单位矩阵，R 初始化为输入矩阵 A。

2. Householder变换：

   • 对于每一列 k，选取当前列的下部分 x。
   • 计算Householder向量 v，并构造Householder矩阵 H。
   • 应用Householder变换更新 R 和 Q。

3. 误差计算：

   • 计算 Q * R 与原始矩阵 A 的误差 Err，并输出结果。

运行结果

运行上述代码后，Err 应该非常接近于零，表明Householder QR分解是正确的。

常见问题

1. 误差较大：如果 Err 仍然较大，可能是由于数值精度问题或代码实现中的错误。建议检查Householder向量的计算和应用是否正确。
2. 矩阵维度：确保输入矩阵 A 的维度正确，且 m >= n（即行数大于等于列数）。

如果你仍然遇到问题，可以提供你的代码片段，我可以帮助你进一步调试。