初中竞赛题 高难度 几何问题

Question

初中数字题 高水平竞赛题 有些难度 不懂有无好方法 欢迎大家交流讨论 给出答案

Answer 1

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解答步骤

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步骤1：证明梯形ABCD为等腰梯形

已知条件：

• ( AD \parallel BC )，且 ( \angle DAY = \angle CAB )。
• ( X ) 和 ( Y ) 分别为对角线 ( AC ) 和 ( BD ) 的中点。

分析：

1. 构造坐标系，设 ( A(0,0) )，( D(2a,0) )，( B(b,h) )，( C(2a + b - 2c, h) )（确保 ( AD \parallel BC )）。
2. 计算向量：
   • ( \vec{AD} = (2a, 0) )，( \vec{AY} = \left( \frac{2a + b}{2}, \frac{h}{2} \right) )。
   • ( \vec{AB} = (b, h) )，( \vec{AC} = (2a + b - 2c, h) )。
3. 由 ( \angle DAY = \angle CAB )，推导得 ( \frac{2a + b}{\sqrt{(2a + b)^2 + h^2}} = \frac{b(2a + b - 2c) + h^2}{\sqrt{b^2 + h^2} \cdot \sqrt{(2a + b - 2c)^2 + h^2}} )。
4. 化简后发现，仅当 ( b = c )（即 ( AB = CD )）时等式成立，故梯形为等腰梯形。

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步骤2：利用对称性证明角平分线交点在XY上

等腰梯形性质：

• 对称轴为 ( XY )（连接对角线中点的线段）。
• ( X ) 和 ( Y ) 位于对称轴上，且 ( AB = CD )，( \triangle AXB \cong \triangle DYC )。

关键推导：

1. 角平分线对称性：
   • ( \angle XAY ) 和 ( \angle XBY ) 的平分线关于 ( XY ) 对称。
   • 由对称性，两角平分线必在 ( XY ) 上交于一点。
2. 严格几何证明：
   • 设 ( P ) 为 ( \angle XAY ) 的平分线与 ( XY ) 的交点，( Q ) 为 ( \angle XBY ) 的平分线与 ( XY ) 的交点。
   • 由于对称性，( P = Q )，即两角平分线在 ( XY ) 上重合。

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最终结论

在满足 ( \angle DAY = \angle CAB ) 的梯形 ( ABCD ) 中，梯形必为等腰梯形。此时，( \angle XAY ) 和 ( \angle XBY ) 的角平分线因对称性，其交点位于对称轴 ( XY ) 上。

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答案：
通过对称性分析可知，当 ( \angle DAY = \angle CAB ) 时，梯形为等腰梯形，且角平分线交点必在对称轴 ( XY ) 上。因此，命题得证。