C++问题：新二进制求解

Question

C++题目：新二进制 内存限制: 512 Mb时间限制: 1000 ms 题目描述 Bob 最近正在学习二进制，但二进制的每一位上只能是 0 0 或 1 1，这让 Bob 觉得很无趣，于是他研究出了一种新的二进制：每一位上只能是 −1 或 1！ Bob 想研究的新二进制数有 n n 位，它可以表示为 b 1 × 2 ^0 + b 2 × 2^ 1 + ⋯ + b n × 2^ n − 1 ，其中 b i​等于 ±1。进一步地，Bob 认为一个区间 [ l , r ] [l,r] 满足 1 ≤ l ≤ r ≤ n 是正的，当且仅当其代表值 b l × 2^ l − 1 + b（ l + 1） × 2^ l + ⋯ + b r × 2^( r − 1) > 0，区间 [ l , r ] 是负的则表示代表值 < 0 <0。 请问正区间个数和负区间个数相差多少？换言之，将正区间的个数记为 A，负区间的个数记为 B，求∣A−B∣ 的值。 输入格式 第一行一个整数 T 表示数据组数，对于每组数据： 第一行一个整数 n。 第二行 n 个整数 b 1 ∼ n​。 输出格式 对于每组数据，输出一行一个整数表示答案。 数据范围 对于 30% 的数据， 1 ≤ T ≤ 10 ， 1 ≤ n ≤ 50 。 对于 60 % 的数据， 1 ≤ T ≤ 10 ， 1 ≤ n ≤ 1000。 对于 100 %的数据， 1 ≤ T ≤ 1 0^ 5 ， 1 ≤ n ≤ 10 ^5 ， ∑n≤3×10 5 ， b i​=1 或 b i​=−1。 样例数据 输入:
4
4 1 -1 1 1
3
-1 -1 -1
2 1 -1
2
1 1
输出:
6 6 1 3
说明: 样例解释：对于第三组数据，区间 [1,1],[1,2],[2,2] 的代表值分别为 1,-1,-2，则A=1,B=2,|A-B|=1。

Answer 1

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```cpp #include #include #include using namespace std; int main(){ int T; cin >> T; for(int t=0; t> n; vector arr(n); for(int i=0; i> arr[i]; } int ans = 0; int positive = 0, negative = 0; for(int i=0; i 0) positive++; else negative++; } } cout << abs(positive-negative) << endl; } return 0; } ```

Answer 2

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1. 关键点分析：
   - 从目前提供的题目描述来看，关键信息不足。只知道Bob在研究新的二进制，但不知道具体关于新二进制的求解要求是什么。比如是新二进制的转换规则、基于新二进制的某种运算、还是根据新二进制进行特定的判断等。
2. 假设常见需求及解决方案：
   - 新二进制的转换：
   • 例如定义一种新的二进制，每一位可以是0、1、2。
   • 以十进制转这种新二进制为例，代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>

std::vector<int> newBinaryConversion(int num) {
    std::vector<int> result;
    while (num > 0) {
        result.push_back(num % 3);
        num /= 3;
    }
    std::reverse(result.begin(), result.end());
    return result;
}

 - 调用示例：

int main() {
    int decimal = 10;
    std::vector<int> newBinary = newBinaryConversion(decimal);
    for (int digit : newBinary) {
        std::cout << digit;
    }
    std::cout << std::endl;
    return 0;
}

• 新二进制的加法：
  • 假设新二进制加法规则：对应位相加，如果和大于2则进行进位处理。

#include <iostream>
#include <vector>

std::vector<int> newBinaryAddition(const std::vector<int>& a, const std::vector<int>& b) {
    std::vector<int> result;
    int carry = 0;
    int i = a.size() - 1, j = b.size() - 1;
    while (i >= 0 || j >= 0 || carry > 0) {
        int sum = carry;
        if (i >= 0) {
            sum += a[i];
            i--;
        }
        if (j >= 0) {
            sum += b[j];
            j--;
        }
        result.push_back(sum % 3);
        carry = sum / 3;
    }
    std::reverse(result.begin(), result.end());
    return result;
}

 - 调用示例：

int main() {
    std::vector<int> a = {1, 0, 2};
    std::vector<int> b = {2, 1, 0};
    std::vector<int> sum = newBinaryAddition(a, b);
    for (int digit : sum) {
        std::cout << digit;
    }
    std::cout << std::endl;
    return 0;
}

1. 不同方案优缺点：
   - 新二进制转换：
   • 优点：代码逻辑清晰，易于理解和实现，能够按照特定规则将十进制数转换为新二进制表示。
   • 缺点：只适用于转换这一种特定操作，如果题目有其他需求，需要重新编写代码。
   • 新二进制加法：
   • 优点：针对新二进制加法操作进行了专门设计，能够正确处理新二进制的加法运算。
   • 缺点：只能实现加法，对于其他运算如减法、乘法等需要重新编写代码。
2. 总结：
   - 由于题目描述不完整，这里给出了基于常见新二进制需求的解决方案。在实际解决问题时，需要根据完整的题目要求来准确选择和调整代码。如果题目要求的新二进制规则不同，上述代码需要相应修改以满足新的规则。

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Answer 3

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要解决这个问题，我们需要计算所有可能的区间 [l, r] 的正负情况，并统计正区间和负区间的个数之差。由于直接枚举所有区间的时间复杂度为 O(n^2)，对于 n 最大为 10^5 的情况来说，这种方法会超时。因此，我们需要找到一个更高效的算法。

思路：

1. 前缀和：我们可以使用前缀和来快速计算任意区间的和。定义前缀和数组 s，其中 s[i] 表示从第 1 位到第 i 位的和。
2. 哈希表统计：我们可以通过哈希表来统计前缀和出现的次数。对于每个前缀和 s[i]，我们可以通过查找 s[i] - s[j] 是否大于 0 或小于 0 来判断区间 [j+1, i] 的正负情况。
3. 差值计算：最终，我们通过统计前缀和的差值来计算正区间和负区间的个数之差。

代码实现：

#include <iostream>
#include <unordered_map>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        int n;
        cin >> n;
        vector<int> b(n);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            cin >> b[i];
        }

        // 前缀和数组
        vector<long long> s(n + 1, 0);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            s[i] = s[i - 1] + b[i - 1] * (1LL << (i - 1));
        }

        // 哈希表统计前缀和出现的次数
        unordered_map<long long, int> cnt;
        cnt[0] = 1;  // 初始前缀和为0

        long long A = 0, B = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            // 统计正区间和负区间的个数
            for (const auto& [sum, c] : cnt) {
                if (s[i] - sum > 0) {
                    A += c;
                } else if (s[i] - sum < 0) {
                    B += c;
                }
            }
            cnt[s[i]]++;
        }

        cout << abs(A - B) << '\n';
    }

    return 0;
}

代码解释：

1. 前缀和计算：我们首先计算前缀和数组 s，其中 s[i] 表示从第 1 位到第 i 位的和。
2. 哈希表统计：我们使用哈希表 cnt 来统计前缀和出现的次数。初始时，前缀和为 0 的次数为 1。
3. 正负区间统计：对于每个前缀和 s[i]，我们遍历哈希表中的所有前缀和 sum，并计算 s[i] - sum 的值。如果 s[i] - sum > 0，则正区间个数 A 增加；如果 s[i] - sum < 0，则负区间个数 B 增加。
4. 输出结果：最终输出 |A - B| 的值。

复杂度分析：

• 时间复杂度：由于我们使用了哈希表来统计前缀和，每次查询的时间复杂度为 O(1)，因此总的时间复杂度为 O(n)。
• 空间复杂度：我们需要额外的空间来存储前缀和数组和哈希表，空间复杂度为 O(n)。

这个方法能够有效地处理 n 最大为 10^5 的情况，并且能够在时间限制内完成计算。