贝祖等式多项式（图中定理2） 中u（x）和v（x）有没有次数限制？是否有deg（u）＜deg（f），deg（v）＜deg（g）？

Question

图中定理2 中u（x）和v（x）有没有次数限制？是否有deg（u）＜deg（f），deg（v）＜deg（g）？

Answer 1

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1. 关键点分析：
   - 核心在于确定贝祖等式多项式中(u(x))和(v(x))的次数限制情况，以及是否满足(\deg(u)<\deg(f))和(\deg(v)<\deg(g))。
2. 解决方案：
   - 设(f(x))和(g(x))是数域(P)上的两个非零多项式，且((f(x),g(x)) = d(x))。根据贝祖等式，存在(P<input type="checkbox" checked="checked" disabled="disabled" />)中的多项式(u(x))和(v(x))，使得(u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x))。
   - 一般情况下，(u(x))和(v(x))的次数是没有这样的严格限制(\deg(u)<\deg(f))且(\deg(v)<\deg(g))的。
   - 例如，设(f(x)=x^2 + 1)，(g(x)=x + 1)，通过辗转相除法可得((f(x),g(x)) = 1)。
   - 实际计算(u(x))和(v(x))：
   • 用(f(x))除以(g(x))：(x^2 + 1=(x - 1)(x + 1)+2)。
   • 然后(x + 1=\frac{1}{2}(x + 1)\times2+0)，倒推回去可得：
   • (2=(x^2 + 1)-(x - 1)(x + 1))，即(1=\frac{1}{2}(x^2 + 1)-\frac{1}{2}(x - 1)(x + 1))，这里(u(x)=\frac{1}{2})，(v(x)=-\frac{1}{2}(x - 1))，(\deg(u)=0)，(\deg(v)=1)，不满足(\deg(u)<\deg(f))且(\deg(v)<\deg(g))。
3. 不同方案及优缺点：
   - 方案一：直接根据贝祖等式的定义和一般证明过程来理解。
   • 优点：从理论根源上理解，能准确把握贝祖等式的本质。
   • 缺点：对于一些具体例子的直观感受不明显。
   • 方案二：通过具体的多项式例子进行计算。
   • 优点：直观清晰，能直接看到次数情况。
   • 缺点：不能涵盖所有可能的多项式情况，只是通过实例说明。
4. 总结：
   - 贝祖等式中的(u(x))和(v(x))没有(\deg(u)<\deg(f))且(\deg(v)<\deg(g))这样的次数限制。通过具体例子计算贝祖等式中的多项式(u(x))和(v(x))时，可以直观地看到它们的次数并不一定满足该条件。

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