rsa算法e的取值范围

Question

rsa中p q c都是已知的，e的范围在二进制十七位和十八位间，怎么通过循环求出正确的e

Answer 1

让阿豪来帮你解答，本回答参考chatgpt3.5编写提供，如果还有疑问可以评论或留言

为了解决在RSA加密中的问题，给定已知的素数 \( p \)、\( q \) 和密文 \( c \)，并且要在 \( e \) 的范围为二进制十七位和十八位之间寻找正确的公钥指数 \( e \)，我们可以通过以下步骤循环求解。

1. 理解背景

在RSA中，公钥由 ( (n, e) ) 组成，其中 ( n = p \times q )，而私钥由 ( d ) 和 ( n ) 组成。( e ) 必须满足以下几个条件： - ( 1 < e < \phi(n) ) （其中 ( \phi(n) = (p-1)(q-1) )） - ( e ) 与 ( \phi(n) ) 互质 对于给定的 ( c ) 和 ( e )，我们可以通过计算 ( m \equiv c^d \mod n ) 来查找明文 ( m )。

2. 定义范围

二进制的十七位数范围是 ( [2^{16}, 2^{17}) )，并且二进制的十八位数范围是 ( [2^{17}, 2^{18}) )。所以 ( e ) 的范围实际上是： - ( 2^{16} = 65536 ) - ( 2^{17} = 131072 ) - ( 2^{18} = 262144 ) 因此， ( e ) 有效范围为 ( e \in [65536, 262144) )。

3. 循环求解

以下是一个Python示例代码，通过循环从范围内获取可能的 ( e )，并检查其与 ( \phi(n) ) 的互质性。

from math import gcd
# 定义p和q
p = 61  # 示例素数p
q = 53  # 示例素数q
# 计算n和φ(n)
n = p * q
phi_n = (p - 1) * (q - 1)
# 定义e的范围
start = 65536  # 2^16
end = 262144   # 2^18
# 循环找出合适的e
for e in range(start, end):
    if gcd(e, phi_n) == 1:  # 检查e与φ(n)是否互质
        print(f"找到合适的e: {e}")
        break  # 找到第一个合适的e后退出循环
# 输出n和φ(n)
print(f"n = {n}")
print(f"φ(n) = {phi_n}")

4. 结果说明

• 运行上面的代码将会找到第一个符合条件的 ( e )，并且该值将在 ( [65536, 262144) ) 之间。
• gcd(e, phi_n) == 1 表示 ( e ) 与 ( \phi(n) ) 互质，符合RSA的公钥选择条件。

5. 其他注意事项

• 实际应用中，选择 ( e ) 通常偏向于使用公共值，例如65537，这是一个常用的RSA加密指数。
• 在选择 ( e ) 时，也要考虑安全性，尽量避免选择小的或者明显的值。

结论

通过上述步骤，我们可以有效地在给定范围内找到符合RSA加密条件的正确公钥指数 ( e )。以上代码和流程提供了一种直接而有效的方法来解决此问题。