MATLAB中如何将多输入多输出(MIMO)状态空间模型转换为传递函数矩阵？

Question

在MATLAB中处理多输入多输出(MIMO)系统时，如何将状态空间模型转换为传递函数矩阵是一个常见问题。假设已定义状态空间模型为sys=ss(A,B,C,D)，如何获取对应的传递函数矩阵？直接使用tf(sys)可能无法直观显示矩阵形式，特别是当系统维度较高时。如何以清晰的矩阵格式展示MIMO系统的传递函数，并确保分子和分母多项式系数正确提取？此外，在转换过程中遇到数值稳定性或模型阶次较高的情况时，如何优化代码以避免计算误差？这些问题都需要深入理解MATLAB中状态空间与传递函数之间的转换机制。

Answer 1

1. 理解状态空间与传递函数的基本转换

在MATLAB中，`ss(A,B,C,D)` 定义了一个状态空间模型，而将此模型转换为传递函数矩阵是MIMO系统分析中的常见需求。基本步骤如下：

1. 使用 `tf(sys)` 将状态空间模型转换为传递函数。
2. 对于高维度系统，直接显示可能不够直观，需要提取分子和分母多项式。

代码示例：

sys = ss(A, B, C, D);
[num, den] = tfdata(sys, 'v');
disp('分子多项式:');
disp(num);
disp('分母多项式:');
disp(den);
    

2. 高维系统的清晰展示

当系统维度较高时，直接使用 `tf(sys)` 可能难以直观理解。以下是优化方法：

• 逐个提取每个输入输出对的传递函数。
• 以矩阵形式组织并显示结果。

示例代码：

[n_outputs, n_inputs] = size(sys);
for i = 1:n_outputs
    for j = 1:n_inputs
        sys_ij = sys(i,j);
        [num_ij, den_ij] = tfdata(sys_ij, 'v');
        fprintf('从输入 %d 到输出 %d 的传递函数:\n', j, i);
        disp(num_ij); disp(den_ij);
    end
end
    

3. 数值稳定性问题及优化策略

在高阶系统或数值不稳定的场景下，直接转换可能导致误差。以下是解决方法：

问题	解决方案
高阶多项式计算误差	使用模态分解或平衡实现减少阶次。
浮点数溢出	规范化状态空间矩阵（如缩放A、B、C、D）。
病态系统	应用模型降阶技术（如balred）。

示例代码：

% 平衡实现
sys_balanced = balreal(sys);

% 模型降阶
sys_reduced = balred(sys, 5); % 保留前5个主要模态
    

4. 转换机制的深入分析

状态空间到传递函数的核心公式为 \(G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D\)。在MATLAB中，这一过程通过符号计算或数值方法实现。

流程图说明转换逻辑：

graph TD;
            A[定义状态空间模型] --> B{是否高阶？};
            B --是--> C[应用模型降阶];
            B --否--> D[调用 tf 函数];
            C --> D;
            D --> E[提取分子分母];