设计低通数字滤波器。

Question

设计低通数字滤波器，要求在通带内频带低于0.2π rad 时，允许幅度误差在 1dB 以 内，在频率0.3π rad~π rad之间的阻带衰减大于 15dB。用双线性设计数字滤波器，T=2， 模拟滤波器采用巴特沃兹滤波器原型。
要求：（1）写出传输函数，画出传输函数的时域波形和频谱。
（2）用包含0.1π和0.8π的正弦信号验证滤波器。

Answer 1

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设计低通数字滤波器

你需要设计一个低通数字滤波器，要求在通带内频带低于0.2π rad 时，允许幅度误差在 1dB 以内，在频率0.3π rad~π rad之间的阻带衰减大于 15dB。使用双线性设计数字滤波器，T=2，模拟滤波。

在 Julia 语言中，我们可以使用以下代码来实现：

using DSP

# 设计参数
fs = 1000  # 样本率
fc = 100   # 中频率
bw = 0.2π  # 通带宽度
atten = 15  # 阻带衰减

# 设计低通数字滤波器
b, a = butter(4, fc / (fs / 2), "low");  # 4th order Butterworth low-pass filter

# 仿真滤波
t = 0:1/fs:1;  # 时间数组
x = sin.(2π * fc * t);  # 输入信号
y = filter(b, a, x);  # 滤波输出

# 计算幅度误差
err = abs.(y ./ x);  #幅度误差
err_db = 20 * log10.(err);  # 将幅度误差转换为 decibel

# 可视化结果
plot(t, x, label="Input")
plot(t, y, label="Output")
plot(t, err_db, label="Error")
xlabel("Time (s)")
ylabel("Amplitude")
legend()

这个代码使用了 Julia 语言中的 DSP 库来设计一个 4th order Butterworth 低通数字滤波器，然后使用这个滤波器对输入信号进行滤波。最后，我们计算了幅度误差，并将其可视化。

请注意，这只是一个简单的示例代码，你可能需要根据实际情况进行调整和优化。