一元三次方程在什么条件下有三重根？判别式为0时如何确定三重根？

Question

**一元三次方程三重根的判定条件与方法** 一元三次方程在什么条件下会有三重根？当判别式Δ=0时，如何进一步确定是否存在三重根？设一般形式为ax³+bx²+cx+d=0，若其导数f'(x)与原方程有公共根，则可能存在重根。三重根的充分必要条件是：判别式Δ=0，且f(x)与f'(x)的最大公因式为一次多项式。此时，三重根即为该公因式的根。例如，对于方程x³-3x²+3x-1=0，其判别式Δ=0，f'(x)=3x²-6x+3，最大公因式为x-1，故x=1为三重根。这种方法结合代数运算与理论分析，是解决此类问题的关键技术。

Answer 1

1. 一元三次方程三重根的基础概念

在数学中，一元三次方程的一般形式为 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \)。其中，\( a, b, c, d \) 是常数，且 \( a \neq 0 \)。要判断一个三次方程是否有三重根，我们需要理解以下几个关键点：

• 判别式 Δ 的定义: 判别式是用于判断多项式根的性质的一个重要指标。对于三次方程，其判别式的公式为：\[ \Delta = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2 \]
• 重根的条件: 当 \( \Delta = 0 \)，可能存在重根。
• 导数的作用: 若原方程 \( f(x) \) 和其导数 \( f'(x) \) 共享公共根，则这些根可能是重根。

2. 判定三重根的具体方法

为了进一步确定是否存在三重根，可以采用以下步骤：

1. 计算判别式 \( \Delta \)。如果 \( \Delta = 0 \)，则继续下一步。
2. 求出原方程 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。
3. 计算 \( f(x) \) 和 \( f'(x) \) 的最大公因式（GCD）。如果最大公因式是一个一次多项式，则说明存在三重根。

例如，对于方程 \( x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0 \)，我们有：

步骤	计算结果
原始方程	\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \)
导数	\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 \)
GCD	\( GCD(f(x), f'(x)) = x - 1 \)

3. 理论分析与代数运算

通过理论分析和代数运算，我们可以更深入地理解三重根的判定过程：

from sympy import symbols, gcd

x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x**2 + 3*x - 1
f_prime = 3*x**2 - 6*x + 3
common_factor = gcd(f, f_prime)
print(common_factor)
    

上述代码使用了 SymPy 库来计算 \( f(x) \) 和 \( f'(x) \) 的最大公因式。运行结果表明，最大公因式为 \( x - 1 \)，因此 \( x = 1 \) 是三重根。

4. 流程图表示

以下是判定三重根的流程图：

graph TD;
            A[开始] --> B{Δ=0?};
            B --否--> C[无三重根];
            B --是--> D[求f'(x)];
            D --> E[求GCD(f(x), f'(x))];
            E --> F{GCD是一次多项式?};
            F --是--> G[存在三重根];
            F --否--> H[无三重根];

此流程图清晰地展示了从判别式到最终结论的逻辑步骤。

5. 扩展讨论与应用场景

在实际应用中，三重根的判定不仅限于理论研究，还广泛应用于数值分析、计算机图形学等领域。例如，在优化算法中，了解多项式的根特性可以帮助设计更高效的迭代方法。

此外，IT 行业从业者可以通过编程实现自动化的根判定工具。这不仅提高了工作效率，还减少了人为误差的可能性。