Simulink中num(s)/den(s)表示什么？传递函数如何定义？

Question

在Simulink中，`num(s)/den(s)`表示传递函数的分子和分母多项式。传递函数是控制系统分析与设计中的核心概念，通常定义为系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比，假设初始条件为零。具体来说，`num(s)`代表分子多项式系数向量，`den(s)`代表分母多项式系数向量。例如，对于传递函数 \( G(s) = \frac{2s + 3}{s^2 + 4s + 5} \)，`num = [2 3]`，`den = [1 4 5]`。这种表示方法便于在Simulink中使用“Transfer Fcn”模块实现动态系统建模与仿真。如何正确设置`num`和`den`以避免数值不稳定或模型错误是常见的技术挑战？

Answer 1

1. 传递函数的基础概念

在Simulink中，`num(s)/den(s)`表示传递函数的分子和分母多项式。传递函数是控制系统分析与设计中的核心概念，通常定义为系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比，假设初始条件为零。具体来说，`num(s)`代表分子多项式系数向量，`den(s)`代表分母多项式系数向量。

例如，对于传递函数 \( G(s) = \frac{2s + 3}{s^2 + 4s + 5} \)，`num = [2 3]`，`den = [1 4 5]`。这种表示方法便于在Simulink中使用“Transfer Fcn”模块实现动态系统建模与仿真。

以下是传递函数的基本结构：

参数	含义	示例
`num`	分子多项式的系数向量	[2 3]
`den`	分母多项式的系数向量	[1 4 5]

2. 数值不稳定的常见原因

在设置`num`和`den`时，数值不稳定是一个常见的技术挑战。以下是一些可能导致数值不稳定的原因：

1. 高阶多项式：当`den`的阶数较高时，计算过程中可能会引入较大的舍入误差。
2. 极点接近零：如果分母多项式的根（即系统的极点）非常接近零，可能导致模型发散。
3. 分子和分母的尺度差异过大：当`num`和`den`的系数数量级差异较大时，可能导致数值精度下降。

为了更好地理解这些挑战，可以参考以下代码示例：

        num = [0.001 0.002]; % 分子系数
        den = [1 1000 1e6];   % 分母系数
        sys = tf(num, den);   % 创建传递函数
    

3. 解决方案与优化策略

针对上述问题，可以采取以下措施来避免数值不稳定或模型错误：

• 归一化处理：将`num`和`den`的系数进行归一化，使得最高次项的系数为1，从而减少尺度差异。
• 降低模型阶数：通过模型降阶技术（如平衡截断法），简化高阶传递函数。
• 检查极点分布：确保所有极点位于复平面的左半部分，并远离原点。

以下是归一化的示例流程图：

graph TD;
            A[开始] --> B[获取num和den];
            B --> C[计算最高次项系数];
            C --> D[除以最高次项系数];
            D --> E[生成归一化后的num和den];
            E --> F[结束];