导函数存在且极限值存在时，是否一定连续？如何证明或举反例？

Question

**问题：导函数存在且极限值存在时，原函数是否一定连续？** 在分析中，若某函数的导数在一点处存在，并且该导数的极限值也存在，能否断定原函数在此点连续？答案是肯定的。根据定义，若函数 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 处可导，则 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 必定连续。这是因为可导性要求差商极限存在，而此极限的存在隐含了函数增量趋于零。 然而，导函数本身的连续性需另行验证。例如，函数 \( f(x) = x^2\sin(1/x) \) （当 \( x \neq 0 \)，且 \( f(0) = 0 \)）在 \( x=0 \) 处可导，但其导数在 \( x=0 \) 附近不连续。因此，导函数存在且极限存在时，原函数连续，但导函数本身可能间断。这一结论可通过分段函数构造反例加以说明。