极限和积分在什么条件下可以交换运算次序

Question

（7—5）这个式子是通过期望和求偏导可以互换顺序来的，具体是因为什么呢，Lebesgue控制收敛定理吗，可否给出具体证明

Answer 1

阿里嘎多学长整理AIGC生成，因移动端显示问题导致当前答案未能完全显示，请使用PC端查看更加详细的解答过程

极限和积分在什么条件下可以交换运算次序

在数学中，极限和积分可以交换运算次序，但需要满足一定的条件。下面是常见的条件：

1. Lebesgue控制收敛定理：如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上 Lebesgue 可积，并且存在一个可积函数 $g(x)$，使得 $|f(x)| \leq g(x)$，那么可以交换极限和积分的顺序：

$$\int_a^b \lim_{x \to c} f(x) dx = \lim_{x \to c} \int_a^b f(x) dx$$

其中 $c$ 是 $[a, b]$ 内的某个点。

1. Monotone Convergence Theorem：如果函数序列 $f_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上 Monotone 增加，并且存在一个可积函数 $g(x)$，使得 $f_n(x) \leq g(x)$，那么可以交换极限和积分的顺序：

$$\int_a^b \lim_{n \to \infty} f_n(x) dx = \lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x) dx$$

1. ** dominated convergence theorem**：如果函数序列 $f_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上 Lebesgue 可积，并且存在一个可积函数 $g(x)$，使得 $|f_n(x)| \leq g(x)$，那么可以交换极限和积分的顺序：

$$\int_a^b \lim_{n \to \infty} f_n(x) dx = \lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x) dx$$

在你的问题中，式子 $(7—5)$ 可以通过 Lebesgue 控制收敛定理来交换极限和积分的顺序。