IEEE-754浮点数表示中，为什么0.1+0.2不等于0.3？

Question

**为什么在IEEE-754浮点数表示中，0.1 + 0.2 不等于 0.3？** 在计算机中，浮点数基于IEEE-754标准存储，采用二进制表示。然而，十进制的小数（如0.1和0.2）无法精确用二进制表示，因为它们是无限循环小数。例如，0.1在二进制中表示为近似的值0.0001100110011...，这种舍入误差会导致计算结果不准确。当计算0.1 + 0.2时，两个近似值相加后也只是一个近似结果，与精确的十进制0.3并不完全一致。因此，在编程中直接比较浮点数是否相等可能会导致错误。为解决此问题，通常使用一个小的容差值（epsilon）来判断两个浮点数是否足够接近，从而认为它们相等。

Answer 1

1. IEEE-754浮点数基础

IEEE-754是计算机中用于表示浮点数的标准，它定义了浮点数的存储格式和计算规则。在该标准下，浮点数由三部分组成：符号位、指数位和尾数位。

• 符号位：表示数值的正负，0为正，1为负。
• 指数位：决定小数点的位置，采用偏移量编码。
• 尾数位：包含有效数字，通常以隐含的“1.”开头。

例如，在单精度浮点数中，32位被划分为1位符号位、8位指数位和23位尾数位。

2. 十进制小数与二进制表示的冲突

十进制小数（如0.1和0.2）在转换为二进制时，可能无法精确表示。这是因为某些十进制小数在二进制中表现为无限循环小数。

十进制值	二进制近似值
0.1	0.0001100110011...
0.2	0.0011001100110...

由于浮点数存储空间有限，这些无限循环小数必须截断，从而引入舍入误差。

3. 为什么0.1 + 0.2 ≠ 0.3？

当计算0.1 + 0.2时，实际上是将两个二进制近似值相加：

    0.0001100110011... (二进制近似值0.1)
+   0.0011001100110... (二进制近似值0.2)
-----------------------------------------
=   0.0100110011001... (二进制结果)
    

这个结果再转换回十进制时，会略微偏离0.3，导致不等式成立。

4. 浮点数比较的解决方案

直接比较浮点数是否相等可能会因舍入误差而失败。因此，通常使用一个小的容差值（epsilon）来判断两个浮点数是否足够接近。

    def is_close(a, b, epsilon=1e-9):
        return abs(a - b) < epsilon
    

通过这种方式，可以避免因舍入误差导致的误判。

5. 浮点数运算的过程分析

以下是浮点数运算的流程图，展示了从输入到输出的全过程：

graph TD;
            A[输入十进制数] --> B{是否可精确表示？};
            B --是--> C[直接存储];
            B --否--> D[截断为近似值];
            D --> E[参与运算];
            E --> F[结果转换为十进制];
            F --> G[输出结果];

此流程揭示了舍入误差产生的根本原因。