大学物理问题，不太确定 问一下

Question

一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为p，半径为R，绕其轴线匀速转动，角速度为ω，试求:
(1)若不考虑边缘效应，圆柱体外距轴线r处的磁感强度大小:
(2)若不考虑边缘效应，圆柱体内距轴线r处的磁感强度大小:
(3)两端面中心处的磁感强度大小。

Answer 1

上午好☀️☀️☀️️
本答案参考通义千问

这个问题涉及到均匀带电圆柱体的磁场分布，需要结合电磁学中的安培环路定理和电流分布来分析。以下是详细的解答步骤：

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已知条件

• 均匀带电圆柱体，电荷体密度为 ( \rho )，半径为 ( R )。
• 圆柱体以角速度 ( \omega ) 绕其轴线匀速旋转。
• 要求计算：
  1. 圆柱体外（( r > R )）的磁感应强度 ( B_{\text{外}} )。
  2. 圆柱体内（( r < R )）的磁感应强度 ( B_{\text{内}} )。
  3. 圆柱体两端面中心处的磁感应强度 ( B_{\text{端面}} )。

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解题思路

1. 电流分布：由于圆柱体匀速旋转，带电体的运动会产生等效电流。等效电流密度 ( J ) 可由电荷密度 ( \rho ) 和角速度 ( \omega ) 计算得到。
2. 安培环路定理：利用安培环路定理 ( \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} ) 来计算磁感应强度。
3. 分区域讨论：根据 ( r ) 的大小分为三种情况：( r < R )、( r > R ) 和圆柱体两端面。

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(1) 圆柱体外 (( r > R )) 的磁感应强度

电流分布

圆柱体内单位体积的电荷为 ( \rho )，带电体的线速度为 ( v = \omega r' )（其中 ( r' ) 是沿径向的距离）。因此，等效电流密度为： [ J = \rho v = \rho \omega r' ] 总电流为： [ I_{\text{总}} = \int J , dA = \int_0^R \rho \omega r' \cdot 2\pi r' , dr' = \rho \omega \pi R^2 ]

安培环路定理

对于 ( r > R )，选择一个圆形路径，路径上的磁感应强度大小相等且与路径平行。根据安培环路定理： [ B_{\text{外}} \cdot 2\pi r = \mu_0 I_{\text{总}} ] 代入 ( I_{\text{总}} = \rho \omega \pi R^2 )： [ B_{\text{外}} = \frac{\mu_0 \rho \omega \pi R^2}{2\pi r} = \frac{\mu_0 \rho \omega R^2}{2r} ]

结果： [ \boxed{B_{\text{外}} = \frac{\mu_0 \rho \omega R^2}{2r}, \quad r > R} ]

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(2) 圆柱体内 (( r < R )) 的磁感应强度

电流分布

对于 ( r < R )，只考虑路径内部的电流。路径内部的电流为： [ I_{\text{enc}} = \int_0^r J , dA = \int_0^r \rho \omega r' \cdot 2\pi r' , dr' = \rho \omega \pi r^2 ]

安培环路定理

对于 ( r < R )，选择一个圆形路径，路径上的磁感应强度大小相等且与路径平行。根据安培环路定理： [ B_{\text{内}} \cdot 2\pi r = \mu_0 I_{\text{enc}} ] 代入 ( I_{\text{enc}} = \rho \omega \pi r^2 )： [ B_{\text{内}} = \frac{\mu_0 \rho \omega \pi r^2}{2\pi r} = \frac{\mu_0 \rho \omega r}{2} ]

结果： [ \boxed{B_{\text{内}} = \frac{\mu_0 \rho \omega r}{2}, \quad r < R} ]

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(3) 圆柱体两端面中心处的磁感应强度

在圆柱体的两端面中心处，由于对称性，磁场方向垂直于轴线且相互抵消。因此，两端面中心处的磁感应强度为零。

结果： [ \boxed{B_{\text{端面}} = 0} ]

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总结

1. 圆柱体外 (( r > R )) 的磁感应强度： [ \boxed{B_{\text{外}} = \frac{\mu_0 \rho \omega R^2}{2r}} ]
2. 圆柱体内 (( r < R )) 的磁感应强度： [ \boxed{B_{\text{内}} = \frac{\mu_0 \rho \omega r}{2}} ]
3. 圆柱体两端面中心处的磁感应强度： [ \boxed{B_{\text{端面}} = 0} ]